Determine o domínio e imagem da função f
f(x, y)=\frac{1}{x^{2}+2 x y+2 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+2xy+2y^{2}}.
O conteúdo envolve determinar onde o denominador é não nulo (domínio) e analisar os valores que f pode assumir (imagem), usando propriedades de formas quadráticas e limites.

Passo 2

Para achar o domínio, precisamos que o denominador seja diferente de zero, ou seja, resolver
x^{2}+2xy+2y^{2}\neq 0.

Passo 3

Observando a forma quadrática
x^{2}+2xy+2y^{2}=(x+y)^{2}+y^{2},
vemos que cada termo é um quadrado não negativo, logo
(x+y)^{2}+y^{2}\ge 0
para todo (x,y)\). A soma só se anula se \[\begin{cases} (x+y)^{2}=0,\\\ y^{2}=0, \end{cases}
isto é, se x+y=0\] e \(y=0, o que implica x=0. Logo o único ponto em que o denominador é zero é (0,0).

Passo 4

Concluímos que o domínio de f é
\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\},
pois em todos os outros pares (x,y) o denominador é positivo.

Passo 5

Agora, para a imagem, note que em todo o domínio
x^{2}+2xy+2y^{2}=(x+y)^{2}+y^{2}>0,
portanto
f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+2xy+2y^{2}}>0.

Passo 6

Para ver até onde f varia:
  • Quando (x,y)\to (0,0) ao longo de qualquer direção, o denominador tende a 0^+, então f(x,y)\to +\infty.
  • Quando \|(x,y)\|\to+\infty, o denominador cresce sem limite, logo f(x,y)\to 0^+.
    Assim, f assume todos os valores estritamente positivos, aproximando-se de zero mas nunca atingindo, e crescendo sem limite superior.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}
Imagem: (0,+\infty)

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