Determine o domínio e imagem da função
Passo 1
O enunciado pede o domínio e a imagem da função de duas variáveis
O conteúdo envolve determinar onde o denominador é não nulo (domínio) e analisar os valores que
pode assumir (imagem), usando propriedades de formas quadráticas e limites.
Passo 2
Para achar o domínio, precisamos que o denominador seja diferente de zero, ou seja, resolver
Passo 3
Observando a forma quadrática
vemos que cada termo é um quadrado não negativo, logo
para todo
isto é, se
, o que implica
. Logo o único ponto em que o denominador é zero é
.
Passo 4
Concluímos que o domínio de
é
pois em todos os outros pares
o denominador é positivo.
Passo 5
Agora, para a imagem, note que em todo o domínio
portanto
Passo 6
Para ver até onde
varia:
- Quando
ao longo de qualquer direção, o denominador tende a , então . - Quando
, o denominador cresce sem limite, logo .
Assim,assume todos os valores estritamente positivos, aproximando-se de zero mas nunca atingindo, e crescendo sem limite superior.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: