Determine o domínio e imagem da função f
f(x, y)=x^{2} \sqrt{y}

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função de duas variáveis
f(x,y)=x^{2}\sqrt{y}.
O conteúdo aqui é determinar em que pares (x,y) a expressão faz sentido (domínio) e quais valores reais são assumidos por f (imagem).

Passo 2

Para o domínio, a única restrição vem de \sqrt{y}: precisamos ter y\ge 0.
Não há nenhuma outra condição sobre x, que pode ser qualquer real. Portanto
\mathrm{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y\ge 0\}=\mathbb{R}\times[0,\infty).

Passo 3

Para a imagem, note que x^{2}\ge0 e \sqrt{y}\ge0 em todo o domínio, logo
f(x,y)=x^{2}\sqrt{y}\ge 0.
Isto mostra que \mathrm{Im}(f)\subseteq[0,\infty).

Passo 4

Para verificar que todo número t\ge0 é de fato atingido, basta escolher, por exemplo,
x=\sqrt{t}, \quad y=1,
pois então
f\bigl(\sqrt{t},1\bigr)=(\sqrt{t})^{2}\sqrt{1}=t\cdot1=t.
Logo [0,\infty)\subseteq\mathrm{Im}(f), e concluímos que
\mathrm{Im}(f)=[0,\infty).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\times[0,\infty)
Imagem: [0,\infty)

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