Determine o domínio e imagem da função f
f(x, y)=\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por
f(x,y)=\sqrt{1 + x^2 + y^2}.
O conteúdo aqui é identificar onde o radicando é não negativo (domínio) e quais valores f pode assumir (imagem).

Passo 2

Para o domínio, impomos a condição de existência da raiz:
1 + x^2 + y^2 \ge 0.
Como x^2\ge0 e y^2\ge0 para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2, conclui-se que
1 + x^2 + y^2 \ge 1 > 0
sempre. Logo o domínio é \mathbb{R}^2.

Passo 3

Para a imagem, note que x^2+y^2 varia em [0,\infty), então o radicando 1+x^2+y^2 varia em [1,\infty). Aplicando a raiz quadrada, temos
f(x,y)=\sqrt{1+x^2+y^2}\in[1,\infty).
O menor valor f(0,0)=1 ocorre em (0,0) e não há valor máximo porque x^2+y^2 cresce sem limite.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^2
Imagem: [1,\infty)

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