Determine o domínio e imagem da função f
f(x, y)=\frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função
f(x,y)=\frac{\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)}{y^{2}}\,.
O conteúdo envolve identificar as restrições da função (domínio) e analisar os valores que ela pode assumir (imagem).

Passo 2

Para existir \ln(1+x^{2}) precisamos de
1+x^{2}>0,
o que vale para todo x\in\mathbb{R}. Além disso, o denominador não pode ser zero, ou seja,
y^{2}\neq 0\quad\Longrightarrow\quad y\neq 0.
Logo o domínio é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\neq 0\}.

Passo 3

Observe que para todo x real \ln(1+x^{2})\ge 0, com igualdade só se x=0. E para todo y\neq 0 temos y^{2}>0. Portanto,
f(x,y)=\frac{\ln(1+x^{2})}{y^{2}}\ge 0,
com f(0,y)=0 para todo y\neq 0. Assim 0 pertence à imagem.

Passo 4

Para valores grandes de \lvert x\rvert a quantidade \ln(1+x^{2}) cresce sem limite, e para y\to 0 (mantendo x\neq 0) o quociente também vai a +\infty. Logo não há teto superior finito: o valor de f(x,y) pode ser arbitrariamente grande.

Resposta

Domínio:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\neq 0\},
Imagem:
[0,\infty).

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