( 1,0 pontos): Calcule \lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \int_{1}^{1+h} e^{x^{2}} d x. Dica: Use o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\int_{1}^{1+h}e^{x^{2}}\,dx.
Este tipo de limite é exatamente a taxa de variação média de uma função definida por integral com limite superior variável, e vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para relacionar essa integral à derivada de uma função apropriada.

Passo 2

Defina
F(x)=\int_{1}^{x}e^{t^{2}}\,dt.
Então
\frac{1}{h}\int_{1}^{1+h}e^{x^{2}}\,dx =\frac{F(1+h)-F(1)}{h},
que é o quociente incremental de F entre x=1 e x=1+h.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (parte II),
F'(x)=e^{x^{2}}.
Portanto,
\lim_{h\to 0}\frac{F(1+h)-F(1)}{h} =F'(1) =e^{1^{2}} =e.

Resposta

e

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