Determine o domínio e imagem da função f:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o domínio e a imagem da função
. Isso envolve entender onde a função está bem definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para isso, vamos precisar lembrar o que define o domínio e a imagem de uma função, além de entender como a função tangente e a divisão por
afetam isso.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os pares
para os quais a função está definida. Olhando para a função
, precisamos identificar os valores de
e
que não tornam a função indefinida.
Passo 3
A função tangente,
, está definida para todo
exceto onde
porque
. Então,
não está definida quando
, onde
é qualquer inteiro.
Passo 4
Além disso, temos o denominador
. Uma divisão por zero não é permitida, então
não pode ser igual a zero. Isso significa que
.
Passo 5
Resumindo, para que
esteja definida:
-
, onde é qualquer inteiro. -
.
Portanto, o domínio da função é todos os pares
tais que
não é
e
não é zero.
Passo 6
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir. Observemos que
pode assumir qualquer número real, já que a função tangente varia de
a
nos intervalos onde está definida.
Passo 7
O denominador
é sempre positivo, já que qualquer número real ao quadrado é positivo, exceto quando
, o que já excluímos no domínio. Portanto,
pode assumir qualquer valor real multiplicado por um número positivo, o que significa que o resultado também pode ser qualquer número real.
Passo 8
Para qualquer número real
, podemos encontrar
e
tais que
. Por exemplo, fixando
, basta escolher
para obter
.
Resposta
Domínio: Todos os pares
onde
e
, com
inteiro.
Imagem: Todos os números reais, isto é,
.