Determine o domínio e imagem da função f: f(x, y) = tan(x) / y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o domínio e a imagem da função . Isso envolve entender onde a função está bem definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para isso, vamos precisar lembrar o que define o domínio e a imagem de uma função, além de entender como a função tangente e a divisão por afetam isso.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os pares para os quais a função está definida. Olhando para a função , precisamos identificar os valores de e que não tornam a função indefinida.

Passo 3

A função tangente, , está definida para todo exceto onde porque . Então, não está definida quando , onde é qualquer inteiro.

Passo 4

Além disso, temos o denominador . Uma divisão por zero não é permitida, então não pode ser igual a zero. Isso significa que .

Passo 5

Resumindo, para que esteja definida:
  • , onde é qualquer inteiro.
  • .
Portanto, o domínio da função é todos os pares tais que não é e não é zero.

Passo 6

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir. Observemos que pode assumir qualquer número real, já que a função tangente varia de a nos intervalos onde está definida.

Passo 7

O denominador é sempre positivo, já que qualquer número real ao quadrado é positivo, exceto quando , o que já excluímos no domínio. Portanto, pode assumir qualquer valor real multiplicado por um número positivo, o que significa que o resultado também pode ser qualquer número real.

Passo 8

Para qualquer número real , podemos encontrar e tais que . Por exemplo, fixando , basta escolher para obter .

Resposta

Domínio: Todos os pares onde e , com inteiro.
Imagem: Todos os números reais, isto é, .

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