Obter a solução geral de
. [Dica: Procure soluções na forma
.]
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Este é um exemplo de equação diferencial de Euler-Cauchy. Para resolvê-la, vamos supor que a solução tem a forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas de
:
Passo 3
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Passo 4
Simplificamos os termos:
Fatoramos
:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro dos colchetes:
Portanto, temos:
Passo 6
Para que a equação seja verdadeira para todo
, o termo dentro dos colchetes deve ser igual a zero:
Passo 7
Resolvemos a equação quadrática para
:
Passo 8
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
.
Resposta
A solução geral é