Obter a solução geral de
t^2 y'' + 4 t y' + 6 y = 0
. [Dica: Procure soluções na forma y = t^r.]

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Este é um exemplo de equação diferencial de Euler-Cauchy. Para resolvê-la, vamos supor que a solução tem a forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas de :

Passo 3

Substituímos , e na equação diferencial:

Passo 4

Simplificamos os termos:
Fatoramos :

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro dos colchetes:
Portanto, temos:

Passo 6

Para que a equação seja verdadeira para todo , o termo dentro dos colchetes deve ser igual a zero:

Passo 7

Resolvemos a equação quadrática para :

Passo 8

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
onde e .

Resposta

A solução geral é

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