Determine o domínio e imagem da função f: f(x, y) = x / (y^2 - 1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, . Precisamos descobrir o domínio dessa função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de e que podemos usar, e a imagem, que são todos os possíveis valores que a função pode assumir. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções racionais e restrições de denominadores.

Passo 2

Vamos começar determinando o domínio da função. O domínio inclui todos os valores de e para os quais a função está definida. Observamos que a função tem um denominador . Em uma fração, o denominador não pode ser zero porque a divisão por zero não é definida. Então, precisamos encontrar os valores de que fazem .

Passo 3

Resolvendo a equação :
Portanto, e tornam o denominador zero, o que não é permitido. Assim, para que a função esteja definida, não pode ser igual a 1 nem a -1.

Passo 4

Como não há restrições sobre na função, pode ser qualquer número real. Assim, o domínio da função é o conjunto de todos os pares onde e .

Passo 5

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de . Observamos que, para qualquer valor real de , podemos escolher e de forma que .
Por exemplo, para um dado , podemos fixar como qualquer valor real diferente de 1 e -1 e então escolher . Assim, para cada , existe pelo menos um par que resulta em .

Resposta

O domínio de é todos os pares onde e . A imagem de é todos os números reais.

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