Determine o domínio e imagem da função f:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
. Precisamos descobrir o domínio dessa função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de
e
que podemos usar, e a imagem, que são todos os possíveis valores que a função pode assumir. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções racionais e restrições de denominadores.
Passo 2
Vamos começar determinando o domínio da função. O domínio inclui todos os valores de
e
para os quais a função está definida. Observamos que a função tem um denominador
. Em uma fração, o denominador não pode ser zero porque a divisão por zero não é definida. Então, precisamos encontrar os valores de
que fazem
.
Passo 3
Resolvendo a equação
:
Portanto,
e
tornam o denominador zero, o que não é permitido. Assim, para que a função esteja definida,
não pode ser igual a 1 nem a -1.
Passo 4
Como não há restrições sobre
na função,
pode ser qualquer número real. Assim, o domínio da função
é o conjunto de todos os pares
onde
e
.
Passo 5
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de
. Observamos que, para qualquer valor real de
, podemos escolher
e
de forma que
.
Por exemplo, para um dado
, podemos fixar
como qualquer valor real diferente de 1 e -1 e então escolher
. Assim, para cada
, existe pelo menos um par
que resulta em
.
Resposta
O domínio de
é todos os pares
onde
e
. A imagem de
é todos os números reais.