(2,0 pontos) Uma carga elétrica é distribuída sobre a região triangular
e
, de modo que a densidade de carga em um ponto
é dada por
. Determine a carga total na região.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma carga elétrica distribuída em uma região triangular definida pelas retas
,
e
. A densidade de carga em cada ponto
é dada por
. Nosso objetivo é encontrar a carga total nessa região.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a área onde a carga está distribuída. O triângulo está limitado por
,
e
. Para calcular a carga total, vamos integrar a densidade de carga sobre essa área.
Passo 3
Vamos configurar a integral dupla. Observando as fronteiras do triângulo:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, vai de até .
Então, a integral dupla fica assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, integrando em relação a
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, integrando em relação a
:
Calculando a integral:
Substituindo os limites:
Resposta
A carga total na região é
.