(2,0 pontos) Uma carga elétrica é distribuída sobre a região triangular y=1, x=1 e y = 1 - x, de modo que a densidade de carga em um ponto P(x, y) é dada por delta(x, y) = x^2 * y * C / m^2. Determine a carga total na região.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma carga elétrica distribuída em uma região triangular definida pelas retas , e . A densidade de carga em cada ponto é dada por . Nosso objetivo é encontrar a carga total nessa região.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a área onde a carga está distribuída. O triângulo está limitado por , e . Para calcular a carga total, vamos integrar a densidade de carga sobre essa área.

Passo 3

Vamos configurar a integral dupla. Observando as fronteiras do triângulo:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , vai de até .
Então, a integral dupla fica assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, integrando em relação a :
Simplificando:

Passo 5

Agora, integrando em relação a :
Calculando a integral:
Substituindo os limites:

Resposta

A carga total na região é .

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