Volume da região sob um cilindro parabólico Encontre o volume sob o cilindro parabólico z=x^{2} acima da região delimitada pela parábola y=6-x^{2} e a reta y=x no plano x y.

Passo 1

O problema pede o volume sob a superfície z=x^2 acima da região R do plano xy limitada pelas curvas y=x e y=6-x^2. O método é usar integrais duplas, pois o volume é
V=\iint_{R}x^2\,dA.

Passo 2

Primeiro determinamos a interseção de y=x com y=6-x^2. Igualando
x = 6 - x^2
temos
x^2 + x - 6 = 0
cuja solução é
x = 2 \quad\text{ou}\quad x = -3.

Passo 3

Para cada x entre -3 e 2, a coordenada y varia de y=x (reta) até y=6-x^2 (parábola). Assim
V = \int_{x=-3}^{2}\int_{y=x}^{6 - x^2} x^2 \,dy\,dx.

Passo 4

Integramos primeiro em y:
\int_{y=x}^{6 - x^2} x^2\,dy = x^2\bigl[(6 - x^2) - x\bigr] =6x^2 - x^4 - x^3.
Logo
V = \int_{-3}^{2} \bigl(6x^2 - x^4 - x^3\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculamos a primitiva
F(x) = \int\bigl(6x^2 - x^4 - x^3\bigr)\,dx =2x^3 - \frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{5},
e avaliamos de -3 a 2:
V = F(2) - F(-3) = \frac{125}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{125}{4}

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