Determine o domínio e a imagem da função
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Está dada a função
. - Perguntas: (i) determinar o domínio de
; (ii) determinar a imagem (contradomínio efetivo) de . - Informação importante:
é um parâmetro (assume-se ). Não foi dado valor numérico para , então o domínio será descrito em função de .
Passo 2
Lembrando propriedades básicas da função
(aula mini-rap):
- Domínio da função
é o intervalo . Ou seja, só faz sentido quando . - Imagem (valores possíveis) da função
é o intervalo . Isso vem do fato de que é a inversa de restrita a esse intervalo de ângulos.
Essas duas informações são cruciais: primeiro restringem o argumento
e depois permitem deduzir a imagem após as transformações
.
Passo 3
Determinar o domínio: impor que o argumento de
esteja em
. Assim temos a desigualdade
Somando
em todas as partes:
Agora isolamos
. Aqui é importante lembrar que ao dividir por
o sentido das desigualdades depende do sinal de
:
- Se
, divide-se normalmente e obtém-se
ou seja o domínio é o intervalo fechado
.
- Se
, ao dividir por (número negativo) as desigualdades invertem-se:
ou seja o domínio é o intervalo fechado
.
- Se
, a desigualdade vira , que é falsa (não existe que satisfaça). Portanto, para o conjunto de admissíveis é vazio.
Observação prática: ambos os intervalos acima são fechados porque os extremos correspondem exatamente aos valores em que
vale
ou
, pontos onde
está definido.
Passo 4
Explicando por que os extremos são atingidos (importante para a imagem): se
é um extremo do domínio então
vale
ou
. Nessas situações
e
. Assim
atingirá os valores correspondentes a essas imagens transformadas por
. Isso garante que a imagem será um intervalo fechado (quando o domínio não é vazio).
Passo 5
Determinar a imagem: partimos da imagem de
,
Aplicando a transformação
(multiplicar por
) obtemos
Em seguida aplicando a transformação
(somar
) deslocamos esse intervalo para a direita por
:
Portanto, sempre que o domínio não for vazio (isto é, sempre que
e as desigualdades acima são possíveis), a imagem de
é o intervalo fechado
. Se o domínio for vazio (caso
) então a imagem também é vazia.
Passo 6
Resumo final (recapitulando de forma clara e amigável): o domínio depende do sinal de
; a imagem, quando a função existe, é sempre
. Se
não existe
que torne
válido, logo a função não tem domínio nem imagem.
Resposta
Domínio: se
,
.
Se ,
.
Se ,
.
Se
Se
Imagem: para
,
.
Para ,
.
Para