Determine o domínio e a imagem da função
h(t)=2 \operatorname{arcsen}(J t-2)+\pi

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Está dada a função \;h(t)=2\operatorname{arcsen}(J t-2)+\pi\;.
  • Perguntas: (i) determinar o domínio de h; (ii) determinar a imagem (contradomínio efetivo) de h.
  • Informação importante: J é um parâmetro (assume-se J\in\mathbb{R}). Não foi dado valor numérico para J, então o domínio será descrito em função de J.

Passo 2

Lembrando propriedades básicas da função \operatorname{arcsen} (aula mini-rap):
  • Domínio da função \operatorname{arcsen} é o intervalo \left[-1,1\right]. Ou seja, só faz sentido \operatorname{arcsen}(x) quando -1\le x\le1.
  • Imagem (valores possíveis) da função \operatorname{arcsen} é o intervalo \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]. Isso vem do fato de que \operatorname{arcsen} é a inversa de \sin restrita a esse intervalo de ângulos.
Essas duas informações são cruciais: primeiro restringem o argumento Jt-2 e depois permitem deduzir a imagem após as transformações 2(\cdot)+\pi.

Passo 3

Determinar o domínio: impor que o argumento de \operatorname{arcsen} esteja em \left[-1,1\right]. Assim temos a desigualdade
-1 \le J t - 2 \le 1.
Somando 2 em todas as partes:
1 \le J t \le 3.
Agora isolamos t. Aqui é importante lembrar que ao dividir por J o sentido das desigualdades depende do sinal de J:
  • Se \;J>0\;, divide-se normalmente e obtém-se
\frac{1}{J} \le t \le \frac{3}{J},
ou seja o domínio é o intervalo fechado \left[\dfrac{1}{J},\dfrac{3}{J}\right].
  • Se \;J<0\;, ao dividir por J (número negativo) as desigualdades invertem-se:
\frac{3}{J} \le t \le \frac{1}{J},
ou seja o domínio é o intervalo fechado \left[\dfrac{3}{J},\dfrac{1}{J}\right].
  • Se \;J=0\;, a desigualdade 1\le Jt\le3 vira 1\le 0\le3, que é falsa (não existe t que satisfaça). Portanto, para J=0 o conjunto de t admissíveis é vazio.
Observação prática: ambos os intervalos acima são fechados porque os extremos correspondem exatamente aos valores em que Jt-2 vale -1 ou 1, pontos onde \operatorname{arcsen} está definido.

Passo 4

Explicando por que os extremos são atingidos (importante para a imagem): se t é um extremo do domínio então Jt-2 vale -1 ou 1. Nessas situações \operatorname{arcsen}(-1)=-\dfrac{\pi}{2} e \operatorname{arcsen}(1)=\dfrac{\pi}{2}. Assim h(t) atingirá os valores correspondentes a essas imagens transformadas por 2(\cdot)+\pi. Isso garante que a imagem será um intervalo fechado (quando o domínio não é vazio).

Passo 5

Determinar a imagem: partimos da imagem de \operatorname{arcsen},
\operatorname{arcsen}(\cdot)\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].
Aplicando a transformação y\mapsto 2y (multiplicar por 2) obtemos
2\operatorname{arcsen}(\cdot)\in\left[-\pi,\pi\right].
Em seguida aplicando a transformação z\mapsto z+\pi (somar \pi) deslocamos esse intervalo para a direita por \pi:
2\operatorname{arcsen}(\cdot)+\pi\in\left[-\pi+\pi,\\ \pi+\pi\right]=\left[0,2\pi\right].
Portanto, sempre que o domínio não for vazio (isto é, sempre que J\neq0 e as desigualdades acima são possíveis), a imagem de h é o intervalo fechado \left[0,2\pi\right]. Se o domínio for vazio (caso J=0) então a imagem também é vazia.

Passo 6

Resumo final (recapitulando de forma clara e amigável): o domínio depende do sinal de J; a imagem, quando a função existe, é sempre \left[0,2\pi\right]. Se J=0 não existe t que torne \operatorname{arcsen}(Jt-2) válido, logo a função não tem domínio nem imagem.

Resposta

Domínio: se J>0, \displaystyle \operatorname{Dom}(h)=\left[\dfrac{1}{J},\dfrac{3}{J}\right].
Se J<0, \displaystyle \operatorname{Dom}(h)=\left[\dfrac{3}{J},\dfrac{1}{J}\right].
Se J=0, \operatorname{Dom}(h)=\varnothing.
Imagem: para J\neq0, \displaystyle \operatorname{Im}(h)=\left[0,2\pi\right].
Para J=0, \operatorname{Im}(h)=\varnothing.

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