Determine o domínio e a imagem das funções f abaixo definidas por
f(x)=log x-3 5

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função
f(x)=logx-35
Aqui vamos usar as definições de logaritmo: para loga b ser bem definida, é preciso que
  1. b>0,
  2. a>0 e aneq1.

Passo 2

Verificamos a condição sobre o argumento do logaritmo, que é 5. Precisamos de
5>0,
o que já é sempre verdadeiro. Portanto, não há restrição adicional vinda do argumento.

Passo 3

Agora aplicamos as condições sobre a base x-3:
  1. x-3>0, isto é, x>3.
  2. x-3neq1, ou seja, xneq4.
    Combinando, o domínio de f é
,xinRmid x>3,;xneq4 =l(3,4r)cupl(4,inftyr)

Passo 4

Para obter a imagem, note que, ao todo, a base
b = x-3
varre os intervalos ,(0,1) (quando 3<x<4) e ,(1,infty) (quando x>4). Usando a fórmula
logb5 = ln5ln b,
vemos que:
  • Se bto1^+, então ln bto0^+ e logb5to+infty.
  • Se bto1^-, então ln bto0^- e logb5to-infty.
  • Se bto0^+ ou bto+infty, então ln btompinfty e logb5to0.
    Logo, logb5 assume todos os valores reais exceto 0, pois logb5=0 daria 5=1, impossível.

Resposta

Domínio: ,(3,4)cup(4,infty).
Imagem: ;(-infty,0)cup(0,infty).

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