Determine o domínio e a imagem das funções f, g e h, definidas por f(x)=2 x-1, g(t)=raizt+2 e h(u)=9-u^2u-3

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem das funções
f(x)=2x-1,
g(t)=raizt+2 e
h(u)=9-u^2u-3.
Aqui domínio é o conjunto de entrada em que a expressão faz sentido, e imagem é o conjunto de valores que a função efetivamente assume.

Passo 2

Para f(x)=2x-1 não há raiz, nem divisão por zero, nem outro impedimento. Logo o domínio é todo o conjunto dos números reais, ou seja
Df=R
Como é uma reta de coeficiente angular 2neq0, ao variar x em R o valor de f(x) também percorre todos os reais, então
Im(f)=R

Passo 3

Para g(t)=raizt+2 a expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
t+2>=0Longrightarrow t>= -2
Assim
Dg=[-2,infty)
E a raiz quadrada retorna valores >=0, daí
Im(g)=[0,infty)

Passo 4

Para h(u)=9-u^2u-3 temos restrição de denominador não nulo:
u-3neq0Longrightarrow uneq3,
logo
Dh=Rsetminus3
Podemos simplificar a expressão:
9-u^2=-(u-3)(u+3),
então para uneq3
h(u)=-(u-3)(u+3)u-3=-(u+3)

Passo 5

A forma simplificada h(u)=-(u+3) é uma reta de inclinação -1. Ao variar u em Rsetminus3, a reta cobre todos os reais exceto o valor que ocorreria em u=3, que seria
-(3+3)=-6
Como u=3 está excluído, h(u) nunca vale -6. Logo
Im(h)=Rsetminus-6

Resposta

Domínios e imagens:
Df=R, Im(f)=R
Dg=[-2,infty), Im(g)=[0,infty)
Dh=Rsetminus3, Im(h)=Rsetminus-6

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