Determine o domínio e a imagem das funções
e
, definidas por
e
Passo 1
O enunciado pede o domínio e a imagem das funções
,
e
.
Aqui domínio é o conjunto de entrada em que a expressão faz sentido, e imagem é o conjunto de valores que a função efetivamente assume.
Aqui domínio é o conjunto de entrada em que a expressão faz sentido, e imagem é o conjunto de valores que a função efetivamente assume.
Passo 2
Para
não há raiz, nem divisão por zero, nem outro impedimento. Logo o domínio é todo o conjunto dos números reais, ou seja
Como é uma reta de coeficiente angular
, ao variar
em
o valor de
também percorre todos os reais, então
Passo 3
Para
a expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
Assim
E a raiz quadrada retorna valores
, daí
Passo 4
Para
temos restrição de denominador não nulo:
logo
Podemos simplificar a expressão:
então para
Passo 5
A forma simplificada
é uma reta de inclinação
. Ao variar
em
, a reta cobre todos os reais exceto o valor que ocorreria em
, que seria
Como
está excluído,
nunca vale
. Logo
Resposta
Domínios e imagens: