Dos três seguintes conjuntos de equações lineares, identifique aquele(s) que não pode ser resolvido com o uso de um método iterativo como o de Gauss-Seidel. Demonstre que a solução não converge, utilizando qualquer número de iterações necessárias. Enuncie claramente seu critério de convergência (como você sabe que não está convergindo).
Set One Set Two Set Three

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos três sistemas lineares e identificar quais não convergem pelo método de Gauss–Seidel. O conteúdo envolve iterações lineares, em que escrevemos A=D+L+U e a matriz de iteração é
Grm GS=-(D+L)^-1U,
convergindo se rho(Grm GS)<1. Em vez de calcular rho(Grm GS) exatamente, vamos aplicar o critério prático: executar algumas iterações com chute inicial e verificar se os valores se estabilizam (diferenças |x^(k+1)-x^(k)|to0) ou explodem.

Passo 2

Definimos o método de Gauss–Seidel para um sistema Ax=b escrevendo cada equação na forma
xi^(k+1)=1aiil(bi-sumj<iaij,xj^(k+1)-sumj>iaij,xj^(k)r)
Vamos aplicar essa fórmula a cada um dos três sistemas, começando por (x0,y0,z0)=(0,0,0), e observar se (xk,yk,zk) converge.

Passo 3

Sistema One:
8x+3y+z=12, -6x+7z=1, 2x+4y-z=5
Reordenando para ter pivôs não nulos em cada equação, obtemos as fórmulas
xk+1=18(12-3yk-zk), yk+1=14(5-2xk+1+zk), zk+1=17(1+6xk+1)
Iterando a partir de (0,0,0) surge
(x1,y1,z1)approx(1,5,0,5,1,4286), (x2,y2,z2)approx(1,1339,1,0402,1,1148), (x3,y3,z3)approx(0,9706,1,0434,0,9748),
e assim por diante, com (xk,yk,zk)to(1,1,1). Logo, o Sistema One converge.

Passo 4

Sistema Two:
x+y+5z=7, x+4y-z=4, 3x+y-z=4
As fórmulas de Gauss–Seidel são
xk+1=7-yk-5zk, yk+1=14(4-xk+1+zk), zk+1=-4+3xk+1+yk+1
Com (x0,y0,z0)=(0,0,0) vem
(x1,y1,z1)=(7,-0,75,16,25), (x2,y2,z2)=(-73,5,23,4375,-201,0625),
e os valores crescem em módulo a cada iteração. As diferenças |x^(k+1)-x^(k)| não tendem a zero, mas explodem, indicando divergência.

Passo 5

Sistema Three:
-x+3y+5z=7, -2x+4y-5z=-3, 2y-z=1
Aplicando Gauss–Seidel:
xk+1=-7+3yk+5zk, yk+1=14(-3+2xk+1+5zk), zk+1=-1+2yk+1
Iniciando em zero obtemos
(x1,y1,z1)=(-7,-4,25,-9,5), (x2,y2,z2)=(-67,25,-46,25,-93,5),
e novamente os valores explodem. As iterações não se estabilizam, logo diverge.

Passo 6

Concluímos que apenas o Sistema One converge pelo método de Gauss–Seidel; os Sistemas Two e Three não convergem, pois suas iterações explodem e as diferenças entre iterações não tendem a zero.

Resposta

Os sistemas que não podem ser resolvidos por Gauss–Seidel (pois não convergem) são o Set Two e o Set Three.

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