Dos três seguintes conjuntos de equações lineares, identifique aquele(s) que não pode ser resolvido com o uso de um método iterativo como o de Gauss-Seidel. Demonstre que a solução não converge, utilizando qualquer número de iterações necessárias. Enuncie claramente seu critério de convergência (como você sabe que não está convergindo).
Set One
Set Two
Set Three
Set One | Set Two | Set Three |
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Passo 1
O enunciado pede para analisarmos três sistemas lineares e identificar quais não convergem pelo método de Gauss–Seidel. O conteúdo envolve iterações lineares, em que escrevemos
e a matriz de iteração é
convergindo se
. Em vez de calcular
exatamente, vamos aplicar o critério prático: executar algumas iterações com chute inicial e verificar se os valores se estabilizam (diferenças
) ou explodem.
Passo 2
Definimos o método de Gauss–Seidel para um sistema
escrevendo cada equação na forma
Vamos aplicar essa fórmula a cada um dos três sistemas, começando por
, e observar se
converge.
Passo 3
Sistema One:
Reordenando para ter pivôs não nulos em cada equação, obtemos as fórmulas
Iterando a partir de
surge
e assim por diante, com
. Logo, o Sistema One converge.
Passo 4
Sistema Two:
As fórmulas de Gauss–Seidel são
Com
vem
e os valores crescem em módulo a cada iteração. As diferenças
não tendem a zero, mas explodem, indicando divergência.
Passo 5
Sistema Three:
Aplicando Gauss–Seidel:
Iniciando em zero obtemos
e novamente os valores explodem. As iterações não se estabilizam, logo diverge.
Passo 6
Concluímos que apenas o Sistema One converge pelo método de Gauss–Seidel; os Sistemas Two e Three não convergem, pois suas iterações explodem e as diferenças entre iterações não tendem a zero.
Resposta
Os sistemas que não podem ser resolvidos por Gauss–Seidel (pois não convergem) são o Set Two e o Set Three.