Determine o domínio e a imagem das funções e esboce os seus gráficos:
Passo 1
O enunciado pede o domínio e a imagem da função de duas variáveis
além de esboçar o seu gráfico. Vamos usar:
- Para o domínio, a condição de existência do logaritmo
. - Para a imagem, a propriedade do logaritmo em
. - Para o gráfico, a análise de seções de nível e cortes ao longo de eixos.
Passo 2
Precisamos que o argumento do logaritmo seja positivo:
A única solução de
é
. Portanto o domínio é
Passo 3
O valor de
percorre todo o intervalo
. Como
é bijetora, a imagem de
é
Passo 4
Para esboçar o gráfico note que as curvas de nível
satisfazem
ou seja, elipses de semieixos
em
e
em
.
– Em ocorre um “vale” onde
.
– À medida que ,
e
.
Portanto obtemos um “prato logarítmico” elíptico: cai até no centro e sobe lentamente para
.
– Em
– À medida que
Portanto obtemos um “prato logarítmico” elíptico: cai até
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: