Determine o domínio e a imagem das funções e esboce os seus gráficos:
f(x, y)=\ln \left(9 x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função de duas variáveis
f(x,y)=\ln\bigl(9x^{2}+y^{2}\bigr),
além de esboçar o seu gráfico. Vamos usar:
  1. Para o domínio, a condição de existência do logaritmo 9x^{2}+y^{2}>0.
  2. Para a imagem, a propriedade do logaritmo em (0,\infty).
  3. Para o gráfico, a análise de seções de nível e cortes ao longo de eixos.

Passo 2

Precisamos que o argumento do logaritmo seja positivo:
9x^{2}+y^{2}>0.
A única solução de 9x^{2}+y^{2}=0 é (x,y)=(0,0). Portanto o domínio é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 9x^{2}+y^{2}>0\} \;=\; \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.

Passo 3

O valor de 9x^{2}+y^{2} percorre todo o intervalo (0,\infty). Como
\ln\colon(0,\infty)\to(-\infty,\infty)
é bijetora, a imagem de f é
(-\infty,\infty).

Passo 4

Para esboçar o gráfico note que as curvas de nível f(x,y)=c satisfazem
\ln\bigl(9x^{2}+y^{2}\bigr)=c \quad\Longleftrightarrow\quad 9x^{2}+y^{2}=e^{c},
ou seja, elipses de semieixos \sqrt{e^{c}/9} em x e \sqrt{e^{c}} em y.
– Em (0,0) ocorre um “vale” onde f\to-\infty.
– À medida que \sqrt{x^{2}+y^{2}}\to\infty, 9x^{2}+y^{2}\to\infty e f\to+\infty.
Portanto obtemos um “prato logarítmico” elíptico: cai até -\infty no centro e sobe lentamente para +\infty.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}
Imagem: (-\infty,\infty)

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