Mostre que a sequência definida por
e
é limitada. Encontre seu limite.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
Queremos mostrar que
é limitada e determinar o seu limite. O conteúdo usado envolve análise de pontos fixos, indução para limitação e teorema de convergência de sequência monótona e limitada.
Passo 2
Procuramos os pontos fixos da função
isto é, soluções de
Reescrevendo,
As raízes são
Denote
Passo 3
Mostramos que para todo
vale
Base
: como
e
, temos
Passo indutivo: suponha
. Como
para
,
é crescente e então
Mas
e
, logo
Assim, por indução,
fica sempre em
, ou seja, é limitada.
Passo 4
Mostramos que
é crescente. De
e usando o teorema do valor médio há
entre
e
tal que
Como
e
, segue por indução que
para todo
, ou seja,
é estritamente crescente. Uma sequência crescente e limitada superiormente converge.
Passo 5
Sejam
. Passando ao limite na relação de recorrência, obtemos
que é exatamente a equação dos pontos fixos. As soluções são
e
, mas como
e cresce a partir de
, o limite é
Resposta
O limite da sequência é