Determine o domínio e a imagem das funções e esboce os seus gráficos:
f(x, y)=y^{2}+x

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio e a imagem da função de duas variáveis
f(x,y)=y^{2}+x
e esboçar o seu gráfico. O conteúdo envolve análise de funções de duas variáveis: identificação de domínio, de imagem e visualização da superfície no espaço tridimensional.

Passo 2

Para achar o domínio, verificamos onde a expressão y^{2}+x está bem definida. Como é um polinômio em x e y, não há restrições (não há divisão por zero, raízes pares de expressão negativa, logaritmos etc.). Logo,
\text{Dom}(f)=\{(x,y)\mid x\in\mathbb{R},\,y\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R}^{2}.

Passo 3

Para obter a imagem, perguntamos quais valores z podem aparecer em
z=f(x,y)=y^{2}+x.
Dado qualquer z_{0}\in\mathbb{R}, basta tomar y=0 e x=z_{0} para ter
f(z_{0},0)=0^{2}+z_{0}=z_{0}.
Assim, a imagem de f é todo \mathbb{R}.

Passo 4

Para esboçar o gráfico z=y^{2}+x, analisamos cortes da superfície:
1. Corte por y=y_{0} (plano paralelo a xz):
z = x + y_{0}^{2},
que é uma reta de inclinação 1 no plano xz, com intercepto y_{0}^{2}.
2. Corte por x=x_{0} (plano paralelo a yz):
z = y^{2} + x_{0},
que é uma parábola em yz abrindo para cima, deslocada verticalmente por x_{0}.
Com isso vemos que o gráfico é um cilindro parabólico, cujo eixo está paralelo ao eixo x e a seção transversal no plano yz é uma parábola voltada para cima.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^{2}
Imagem: \mathbb{R}
Gráfico: cilindro parabólico gerado pela parábola z=y^{2} ao longo da direção x.

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