Determine o domínio e a imagem das funções e esboce os seus gráficos:
f(x, y)=y^{2}+x
f(x, y)=y^{2}+x
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio e a imagem da função de duas variáveis
e esboçar o seu gráfico. O conteúdo envolve análise de funções de duas variáveis: identificação de domínio, de imagem e visualização da superfície no espaço tridimensional.
Passo 2
Para achar o domínio, verificamos onde a expressão
está bem definida. Como é um polinômio em
e
, não há restrições (não há divisão por zero, raízes pares de expressão negativa, logaritmos etc.). Logo,
Passo 3
Para obter a imagem, perguntamos quais valores
podem aparecer em
Dado qualquer
, basta tomar
e
para ter
Assim, a imagem de
é todo
.
Passo 4
Para esboçar o gráfico
, analisamos cortes da superfície:
1. Corte por
(plano paralelo a
):
que é uma reta de inclinação
no plano
, com intercepto
.
2. Corte por
(plano paralelo a
):
que é uma parábola em
abrindo para cima, deslocada verticalmente por
.
Com isso vemos que o gráfico é um cilindro parabólico, cujo eixo está paralelo ao eixo
e a seção transversal no plano
é uma parábola voltada para cima.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: cilindro parabólico gerado pela parábola ao longo da direção
.
Imagem:
Gráfico: cilindro parabólico gerado pela parábola