O pirata Barba Negra, a bordo do navio Queen Anne’s Revenge, suspende do porto de Westgate e navega 105 MN (milhas náuticas) para leste até a ilha Prespur, com 15 nós (MN/h) de velocidade. Lá, ele carrega o navio com suprimentos durante 1 h e parte em sentido sul com vento favorável, a 20 nós, para o porto de Alhena, distante 180 MN de Prespur. O pirata William Kidd, a bordo do navio The Adventure Galley, parte de Westgate 2 h depois de Barba Negra com o objetivo de interceptar o Queen Anne’s Revenge e roubar os suprimentos embarcados, navegando sempre em linha reta e com velocidade constante. O plano é bem sucedido, e o navio de Barba Negra é alcançado faltando 1 h 30 min para chegar a Alhena. Com base nessas informações, pode-se inferir que a taxa de aproximação do The Adventure Galley em relaçẫo ao Queen Anne’s Revenge 10h após Barba Negra ter partido de Westgate, em MN/min, era de:
(A) 0,20
(B) 0,40
(C) 0,60
(D) 0,80
(E) 0,90

Passo 1

O enunciado descreve dois navios partindo do mesmo ponto (Westgate) em horários diferentes, um vai primeiro para leste e depois para sul, e o outro sai 2 h mais tarde com rota direta para interceptar o primeiro. Precisamos usar geometria vetorial e velocidade relativa para achar a taxa de aproximação entre os navios no instante t=10 h (contadas desde a partida de Barba Negra), em MN/min.

Passo 2

Trajetória de Barba Negra (BN): sai de Westgate em t=0 e vai 105 MN para leste a 15 knots.
Tempo até a ilha Prespur:
\frac{105}{15}=7\text{ h},
chega em t=7, fica 1 h carregando e parte para sul em t=8 a 20 knots, distante 180 MN de Alhena. Como é interceptado faltando 1,5 h para Alhena, viajou ao sul
9-1{,}5=7{,}5\text{ h}
e o encontro ocorre em
t_c=8+7{,}5=15{,}5\text{ h}
no ponto (105,\,-150), adotando eixos x para leste e y para norte (sul é negativo).

Passo 3

Trajetória de William Kidd (WK): sai em t=2 de Westgate e chega ao ponto de interceptação em t_c=15{,}5, viajando 15{,}5-2=13{,}5 h.
Distância Westgate–interceptação:
\sqrt{105^2+150^2}=\sqrt{33525}\approx183{,}1\text{ MN}.
Logo a velocidade escalar de WK é
v_K=\frac{183{,}1}{13{,}5}\approx13{,}56\text{ MN/h}.
O vetor unitário de WK é
\mathbf u =\frac{(105,\,-150)}{183{,}1}\approx(0{,}5738,\,-0{,}8190),
e seu vetor velocidade
\mathbf v_W =13{,}56\,\mathbf u \approx(7{,}784,\,-11{,}11)\text{ MN/h}.

Passo 4

Posições em t=10 h:
– BN já está no trecho sul desde t=8, há 10-8=2 h a sul de (105,0), logo
\mathbf r_B=(105,\,-20\cdot2)=(105,\,-40).
– WK viajou de t=2 a t=10, ou seja 8 h, sobre \mathbf u, então
\mathbf r_W =8\cdot13{,}56\,\mathbf u \approx108{,}5\,(0{,}5738,\,-0{,}8190) \approx(62{,}3,\,-88{,}9).

Passo 5

Para achar a taxa de aproximação (velocidade de fechamento) calculamos
\mathbf r=\mathbf r_B-\mathbf r_W=(42{,}7,\;48{,}9),\quad \mathbf v_{rel}=\mathbf v_B-\mathbf v_W=(0,-20)-(7{,}784,-11{,}11) =(-7{,}784,\,-8{,}89).
A taxa de variação da distância é
\frac{d|\mathbf r|}{dt} =\frac{\mathbf r\cdot\mathbf v_{rel}}{|\mathbf r|} \approx\frac{(42{,}7)(-7{,}784)+(48{,}9)(-8{,}89)}{64{,}9} \approx-11{,}82\text{ MN/h}.
Como queremos a aproximação (valor positivo), tomamos
11{,}82\text{ MN/h} \quad\longrightarrow\quad \frac{11{,}82}{60}\approx0{,}197\text{ MN/min}\approx0{,}20\text{ MN/min}.

Resposta

(A) 0,20

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