Resolva o PVI (Problema de Valor Inicial) dado pela EDO Linear homogênea de 1^{a} ordem:
3 \frac{d y}{d x}+12 y=0 ; \quad y(0)=1
a) Utilizando fator integrante
b) Utilizando séries de potência

Passo 1

O enunciado dá o PVI
3\frac{dy}{dx} + 12y = 0,\quad y(0)=1,
que é uma EDO linear homogênea de 1ª ordem. Vamos resolver de duas maneiras: (a) usando fator integrante e (b) usando séries de potência.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
\frac{dy}{dx} + 4y = 0.
O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int 4\,dx} = e^{4x}.
Multiplicando a EDO por \mu(x) obtemos
e^{4x}\frac{dy}{dx} + 4e^{4x}y = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(e^{4x}y\bigr)=0.
Integrando, vem
e^{4x}y = C \quad\Longrightarrow\quad y = Ce^{-4x}.
Aplicando y(0)=1 C=1, logo
y(x) = e^{-4x}.

Passo 3

Assumimos uma solução em série de potência centrada em 0:
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n, \quad y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty}n\,a_n x^{n-1}.
Substituindo em 3y'+12y=0:
3\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_n x^{n-1} +12\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n = 0.
Na primeira soma fazemos m=n-1:
3\sum_{m=0}^{\infty}(m+1)a_{m+1}x^m +12\sum_{m=0}^{\infty}a_m x^m = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3(m+1)a_{m+1} +12a_m = 0.
Daí a relação de recorrência
a_{m+1} = -\frac{12}{3(m+1)}\,a_m = -\frac{4}{m+1}\,a_m.
Iterando, obtém-se
a_n = \frac{(-4)^n}{n!}\,a_0,
então
y(x) = a_0\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-4x)^n}{n!} = a_0 e^{-4x}.
Como y(0)=a_0=1, concluímos
y(x)=e^{-4x}.

Resposta

y(x)=e^{-4x}.

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