Nos Exercícios de 21 a 39, encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.
lim x 1 / 3 3 x-19 x^2-1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto tfrac133x-19x^2-1
Isso envolve uma indeterminação do tipo 0/0. O conteúdo é limite de funções racionais e usaremos os teoremas de limite de quociente (para funções contínuas) e o teorema de cancelamento de fatores após fatorar a expressão.

Passo 2

Tentando a substituição direta temos
3l(tfrac13r)-1 = 0 e 9l(tfrac13r)^2-1 = 0,
logo 00. Conforme o teorema do quociente, não podemos aplicar substituição direta enquanto houver indeterminação, devendo simplificar a expressão antes.

Passo 3

Fatoramos o denominador usando o teorema de fatoração de polinômios:
9x^2 - 1 = (3x-1)(3x+1)
Assim,
3x-19x^2-1 =3x-1(3x-1)(3x+1)
e pelo teorema de cancelamento de fatores em limite (para xneq tfrac13) obtemos
3x-19x^2-1 =13x+1

Passo 4

Agora aplicamos substituição direta no limite simplificado:
limxto tfrac1313x+1 =13l(tfrac13r)+1 =11+1 =12

Resposta

12

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