Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:
j(x)=\ln \left(\frac{x+2}{x-1}\right)

Passo 1

O enunciado fornece a função j(x)=\ln\!\left(\dfrac{x+2}{x-1}\right) e pede:
  • o domínio de j (todos os x para os quais a função está definida);
  • a imagem (conjunto de valores possíveis de j(x)).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função logaritmo natural \ln(t) está definida somente para t>0. Portanto o argumento \dfrac{x+2}{x-1} deve satisfazer \dfrac{x+2}{x-1}>0.
  • Os pontos onde o numerador ou denominador se anulam são x=-2 (numerador zero) e x=1 (denominador zero). Esses pontos são candidatos a mudarem o sinal da fração e/ou a serem proibidos no domínio.

Passo 2

Determinar o domínio exigindo \dfrac{x+2}{x-1}>0.
Primeiro identifico os pontos críticos que anulam numerador ou denominador: x=-2 e x=1. Eles particionam a reta em três intervalos: (-\infty,-2), (-2,1) e (1,\infty).
Agora analiso o sinal de \dfrac{x+2}{x-1} em cada intervalo, testando um valor simples em cada um.
  • Em x=-3 (no intervalo (-\infty,-2)):
    \frac{x+2}{x-1}\Big|_{x=-3}=\frac{-3+2}{-3-1}=\frac{-1}{-4}=\frac{1}{4}>0.
    Logo a fração é positiva em (-\infty,-2).
  • Em x=0 (no intervalo (-2,1)):
    \frac{x+2}{x-1}\Big|_{x=0}=\frac{0+2}{0-1}=\frac{2}{-1}=-2<0.
    Logo a fração é negativa em (-2,1).
  • Em x=2 (no intervalo (1,\infty)):
    \frac{x+2}{x-1}\Big|_{x=2}=\frac{2+2}{2-1}=\frac{4}{1}=4>0.
    Logo a fração é positiva em (1,\infty).
Portanto a desigualdade \dfrac{x+2}{x-1}>0 é satisfeita nos intervalos (-\infty,-2) e (1,\infty). Além disso:
  • x=-2 não pertence ao domínio porque torna o argumento igual a 0 (e \ln 0 não está definido).
  • x=1 não pertence ao domínio porque produz divisão por zero.
Conclusão parcial:
\text{Domínio: }(-\infty,-2)\cup(1,\infty).í

Passo 3

Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de j(x)). Uma forma clara é resolver para x em função de um valor y e ver quais y têm solução.
Seja y=j(x). Então
y=\ln\!\left(\frac{x+2}{x-1}\right).
Expoente ambas as partes:
e^{y}=\frac{x+2}{x-1}.
Agora resolvo essa equação para x. Multiplicando ambos os lados por x-1:
x+2=e^{y}(x-1).
Reorganizando termos em x:
x - e^{y}x = -e^{y}-2.
x(1-e^{y}) = -(e^{y}+2).
Assumindo e^{y}\neq 1 (caso que vou analisar), obtemos
x=\frac{e^{y}+2}{e^{y}-1}.
Observações importantes desta expressão:
  • Se e^{y}=1 então y=0. Nesse caso a fórmula teria divisão por zero; de fato, testar y=0 na definição dá \ln\!\big(\dfrac{x+2}{x-1}\big)=0\Rightarrow \dfrac{x+2}{x-1}=1\Rightarrow x+2=x-1, que é uma contradição. Logo y=0 não é obtido por nenhum x; isto já indica que 0 não pertence à imagem.
  • Para qualquer y\neq 0 temos e^{y}\neq 1 e a expressão acima dá um x bem definida. Preciso verificar que esse x resultante está no domínio (isto mostra que todo y\neq 0 é realmente atingido por algum x).
Verifico a posição de x conforme o sinal de y:
  • Se y>0 então e^{y}>1. Então e^{y}-1>0 e e^{y}+2>0, logo
    x-1=\frac{e^{y}+2}{e^{y}-1}-1=\frac{e^{y}+2-(e^{y}-1)}{e^{y}-1}=\frac{3}{e^{y}-1}>0.
    Assim x>1, ou seja, o x encontrado está no intervalo (1,\infty) do domínio. Portanto todos os y>0 são atingidos.
  • Se y<0 então 0<e^{y}<1. Nesse caso e^{y}-1<0 e e^{y}+2>0, então
    x+2=\frac{e^{y}+2}{e^{y}-1}+2=\frac{e^{y}+2+2(e^{y}-1)}{e^{y}-1}=\frac{3e^{y}}{e^{y}-1}.
    Aqui o numerador 3e^{y}>0 e o denominador e^{y}-1<0, portanto x+2<0, ou seja x<-2. Assim o x encontrado está no intervalo (-\infty,-2) do domínio. Portanto todos os y<0 são atingidos.
Juntando: para todo y\neq 0 existe um x no domínio tal que j(x)=y. E y=0 não é atingido.

Passo 4

Verificação intuitiva (cheque de consistência com limites e exemplos):
  • Para x\to 1^{+}, \dfrac{x+2}{x-1}\to+\infty e então j(x)\to+\infty. Isso mostra que valores positivos grandes aparecem.
  • Para x\to +\infty, \dfrac{x+2}{x-1}\to 1^{+} e então j(x)\to 0^{+}. Portanto sobre (1,\infty) a função vai de +\infty até 0 (sem atingir 0).
  • Para x\to -2^{-}, \dfrac{x+2}{x-1}\to 0^{+} e j(x)\to -\infty.
  • Para x\to -\infty, \dfrac{x+2}{x-1}\to 1^{-} e j(x)\to 0^{-}. Portanto sobre (-\infty,-2) a função vai de 0 (não atingido) até -\infty.
  • Exemplos numéricos rápidos: j(2)=\ln(4)>0; j(-3)=\ln\!\left(\tfrac{1}{4}\right)<0. Ambos lados da reta de valores são alcançados.
Esses fatos confirmam que a imagem é todos os reais exceto 0.

Resposta

Domínio: (-\infty,-2)\cup(1,\infty)
Imagem: \mathbb{R}\setminus\{0\}

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