Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:
f(x)=\left\{\begin{array}{lll}4-x^{2}, & \text { se } & x \leq 1 \\\ x^{2}+2, & \text { se } & x>1\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função definida por partes
f(x)=\begin{cases} 4-x^{2}, & \text{se } x\le 1,\\[4pt] x^{2}+2, & \text{se } x>1, \end{cases}
ou seja:
  • Determinar o domínio de f.
  • Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos) de f.
Informações relevantes dadas:
  • Há duas “ramificações” da função: a parte 4-x^{2} vale para x\le 1 e a parte x^{2}+2 vale para x>1.
  • Ambas as expressões são polinômios (quadráticas), que estão definidas para todos os reais em si, mas cada uma só vale no seu intervalo dado.]

Passo 2

Vamos decidir o domínio. O domínio de uma função por partes é o conjunto de x em que alguma das peças está definida e é aplicada. As peças estão definidas em:
(-\infty,1]\quad\text{e}\quad(1,\infty).
A união desses intervalos é
(-\infty,1]\cup(1,\infty)=(-\infty,\infty)=\mathbb{R}.
Conclusão (ainda explicando): como cada ramo é um polinômio (sempre definido) e os dois ramos cobrem todos os reais (um até 1 inclusive e o outro para x>1), todo real é permitido como entrada. Logo o domínio é \mathbb{R}.

Passo 3

Agora vamos encontrar a imagem. A imagem de f é a união das imagens de cada ramo:
\operatorname{Im}(f)=\operatorname{Im}(4-x^{2}\\ \text{em }(-\infty,1])\\ \cup\\ \operatorname{Im}(x^{2}+2\\ \text{em }(1,\infty)).
Então vamos estudar cada ramo separadamente. Vou lembrar um fato útil sobre quadráticas: para uma função quadrática \,q(x)=ax^{2}+bx+c, se a<0 ela tem um máximo no vértice e se a>0 tem um mínimo no vértice. O vértice está em
x_v=-\dfrac{b}{2a},
e o valor no vértice é q(x_v). Mas atenção: se o domínio for um intervalo que não contém o vértice, o extremo pode acontecer nas extremidades do intervalo.

Passo 4

Analisando o primeiro ramo g_{1}(x)=4-x^{2} com domínio x\le 1.
  • Aqui a=-1<0, então é uma parábola voltada para baixo (tem máximo).
  • Coeficientes: a=-1,\\ b=0,\\ c=4. O vértice fica em
x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{0}{2(-1)}=0,
que está dentro do intervalo (-\infty,1]. O valor no vértice é
g_{1}(0)=4-0^{2}=4.
  • Para x\to -\infty temos g_{1}(x)=4-x^{2}\to -\infty. No ponto x=1 (extremidade do domínio desse ramo) temos
g_{1}(1)=4-1^{2}=3.
Portanto a imagem de g_{1} em (-\infty,1] é todos os valores menores ou iguais ao máximo 4, isto é
\operatorname{Im}(g_{1})=(-\infty,4].

Passo 5

Analisando o segundo ramo g_{2}(x)=x^{2}+2 com domínio x>1.
  • Aqui a=1>0, é parábola voltada para cima (tem mínimo).
  • O vértice está em x_v=0, mas 0 NÃO pertence ao domínio x>1. Então o mínimo global da parábola não é acessível aqui.
  • Para decidir o menor valor de g_{2} sobre x>1, observamos que para x>0 a função x^{2} é crescente (derivada 2x>0), então em particular em x>1 a menor ordem de x^{2} ocorre quando x se aproxima de 1 pela direita. Assim
\lim_{x\to 1^{+}}g_{2}(x)=\lim_{x\to1^{+}}(x^{2}+2)=1+2=3.
Porém como o domínio é x>1 (não inclui 1), o valor 3 não é atingido por g_{2}; apenas valores estritamente maiores que 3 aparecem. E quando x\to\infty temos g_{2}(x)\to\infty. Portanto
\operatorname{Im}(g_{2})=(3,\infty).

Passo 6

Agora unimos as imagens dos dois ramos:
\operatorname{Im}(f)=(-\infty,4]\\ \cup\\ (3,\infty).
Vamos simplificar essa união: os intervalos se sobrepõem, porque (3,4] pertence ao primeiro intervalo (-\infty,4]. Concretamente, qualquer número real y cai em pelo menos um dos dois:
  • se y\le 4 então y\in(-\infty,4];
  • se y>3 então y\in(3,\infty).
    Como 3<4, não existe número real que fique fora desses dois casos: a união cobre todos os reais. Logo a união é (-\infty,\infty)=\mathbb{R}.
Nota prática: observe que o valor 3 é atingido pelo primeiro ramo (em x=1), enquanto o segundo ramo se aproxima de 3 mas não atinge 1. O valor 4 é atingido no primeiro ramo em x=0. Assim não faltam pontos: todos os reais são obtidos por algum x.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \mathbb{R}

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