Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função definida por partes
ou seja:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos) de
.
Informações relevantes dadas:
- Há duas “ramificações” da função: a parte
vale para e a parte vale para . - Ambas as expressões são polinômios (quadráticas), que estão definidas para todos os reais em si, mas cada uma só vale no seu intervalo dado.]
Passo 2
Vamos decidir o domínio. O domínio de uma função por partes é o conjunto de
em que alguma das peças está definida e é aplicada. As peças estão definidas em:
A união desses intervalos é
Conclusão (ainda explicando): como cada ramo é um polinômio (sempre definido) e os dois ramos cobrem todos os reais (um até
inclusive e o outro para
), todo real é permitido como entrada. Logo o domínio é
.
Passo 3
Agora vamos encontrar a imagem. A imagem de
é a união das imagens de cada ramo:
Então vamos estudar cada ramo separadamente. Vou lembrar um fato útil sobre quadráticas: para uma função quadrática
, se
ela tem um máximo no vértice e se
tem um mínimo no vértice. O vértice está em
e o valor no vértice é
. Mas atenção: se o domínio for um intervalo que não contém o vértice, o extremo pode acontecer nas extremidades do intervalo.
Passo 4
Analisando o primeiro ramo
com domínio
.
- Aqui
, então é uma parábola voltada para baixo (tem máximo). - Coeficientes:
. O vértice fica em
que está dentro do intervalo
. O valor no vértice é
- Para
temos . No ponto (extremidade do domínio desse ramo) temos
Portanto a imagem de
em
é todos os valores menores ou iguais ao máximo
, isto é
Passo 5
Analisando o segundo ramo
com domínio
.
- Aqui
, é parábola voltada para cima (tem mínimo). - O vértice está em
, mas NÃO pertence ao domínio . Então o mínimo global da parábola não é acessível aqui. - Para decidir o menor valor de
sobre , observamos que para a função é crescente (derivada ), então em particular em a menor ordem de ocorre quando se aproxima de pela direita. Assim
Porém como o domínio é
(não inclui
), o valor
não é atingido por
; apenas valores estritamente maiores que
aparecem. E quando
temos
. Portanto
Passo 6
Agora unimos as imagens dos dois ramos:
Vamos simplificar essa união: os intervalos se sobrepõem, porque
pertence ao primeiro intervalo
. Concretamente, qualquer número real
cai em pelo menos um dos dois:
- se
então ; - se
então .
Como, não existe número real que fique fora desses dois casos: a união cobre todos os reais. Logo a união é .
Nota prática: observe que o valor
é atingido pelo primeiro ramo (em
), enquanto o segundo ramo se aproxima de
mas não atinge
. O valor
é atingido no primeiro ramo em
. Assim não faltam pontos: todos os reais são obtidos por algum
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: