Esboce o domínio de f(x, y).
f(x, y)=\ln \left(x^{2}-y\right)

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o domínio da função f(x,y)=\ln\big(x^{2}-y\big).
Informações dadas: a expressão da função é f(x,y)=\ln\big(x^{2}-y\big).
O que precisamos encontrar: o conjunto de pontos (x,y) no plano para os quais f(x,y) está bem definida (ou seja, existe como número real).

Passo 2

Entender a condição necessária para que o logaritmo natural seja definido.
Mini-aula rápida: a função \ln(u) (logaritmo natural) está definida como número real apenas quando o argumento u é estritamente positivo. Exemplos simples: \ln(1)=0 (ok, porque 1>0), \ln(0) não existe (pois 0 não é positivo), e \ln(-1) também não existe no conjunto dos reais. Então, para f(x,y) fazermos sentido precisamos de
x^{2}-y>0.

Passo 3

Manipular a desigualdade para isolar y e interpretar geometricamente.
A desigualdade x^{2}-y>0 pode ser reescrita movendo y para o outro lado:
x^{2}>y.
Isto é equivalente a
y < x^{2}.

Passo 4

Interpretação geométrica da desigualdade y < x^{2}.
A curva y = x^{2} é uma parábola com vértice em (0,0), que abre para cima e é simétrica em relação ao eixo y (ou seja, em relação à reta x=0). A região y < x^{2} corresponde a todos os pontos do plano que ficam abaixo dessa parábola. Como a desigualdade é estrita ( <), a própria parábola não pertence ao domínio.

Passo 5

Como esboçar no papel (passo a passo prático, “modo prova”):
  1. Desenhe o sistema de eixos x e y.
  2. Faça a parábola y=x^{2}: vértice em (0,0), passe por (1,1), (2,4), e espelhe para x<0.
  3. Trace a parábola com linha tracejada (ou pontilhada) para lembrar que a fronteira não está incluída.
  4. Sombree a região abaixo da parábola (isto é, para cada abscissa x escolha os pontos com y menores que x^{2}). Essa é a região do domínio.

Passo 6

Testes de pontos para fixar a ideia:
  • O ponto (0,-1): x^{2}-y = 0 - (-1)=1>0, logo está no domínio.
  • O ponto (0,0): x^{2}-y = 0, não está no domínio (pois \ln(0) não existe).
  • O ponto (2,5): x^{2}-y = 4-5=-1<0, não está no domínio.
    Esses exemplos confirmam que incluímos pontos estritamente abaixo da parábola e excluímos a própria curva e os pontos acima dela.

Passo 7

Escrever o domínio em forma matematicamente precisa (conjunto):
O domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) em \mathbb{R}^{2} que satisfazem y<x^{2}. Portanto a descrição final é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y<x^{2}\}.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y<x^{2}\}

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