Esboce o domínio de
.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o domínio da função
.
Informações dadas: a expressão da função é .
O que precisamos encontrar: o conjunto de pontos no plano para os quais
está bem definida (ou seja, existe como número real).
Informações dadas: a expressão da função é
O que precisamos encontrar: o conjunto de pontos
Passo 2
Entender a condição necessária para que o logaritmo natural seja definido.
Mini-aula rápida: a função (logaritmo natural) está definida como número real apenas quando o argumento
é estritamente positivo. Exemplos simples:
(ok, porque
),
não existe (pois
não é positivo), e
também não existe no conjunto dos reais. Então, para
fazermos sentido precisamos de
Mini-aula rápida: a função
Passo 3
Manipular a desigualdade para isolar
e interpretar geometricamente.
A desigualdade pode ser reescrita movendo
para o outro lado:
A desigualdade
Isto é equivalente a
Passo 4
Interpretação geométrica da desigualdade
.
A curva é uma parábola com vértice em
, que abre para cima e é simétrica em relação ao eixo
(ou seja, em relação à reta
). A região
corresponde a todos os pontos do plano que ficam abaixo dessa parábola. Como a desigualdade é estrita (
), a própria parábola não pertence ao domínio.
A curva
Passo 5
Como esboçar no papel (passo a passo prático, “modo prova”):
- Desenhe o sistema de eixos
e . - Faça a parábola
: vértice em , passe por , , e espelhe para . - Trace a parábola com linha tracejada (ou pontilhada) para lembrar que a fronteira não está incluída.
- Sombree a região abaixo da parábola (isto é, para cada abscissa
escolha os pontos com menores que ). Essa é a região do domínio.
Passo 6
Testes de pontos para fixar a ideia:
- O ponto
: , logo está no domínio. - O ponto
: , não está no domínio (pois não existe). - O ponto
: , não está no domínio.
Esses exemplos confirmam que incluímos pontos estritamente abaixo da parábola e excluímos a própria curva e os pontos acima dela.
Passo 7
Escrever o domínio em forma matematicamente precisa (conjunto):
O domínio é o conjunto de todos os pares em
que satisfazem
. Portanto a descrição final é
O domínio é o conjunto de todos os pares