Determine o domínio, a imagem, a paridade, e esboce o gráfico das funções a seguir:
f(x)=log (x^2x^2-1+1raiz2 x-3)

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=log!l(x^2x^2-1+1raiz2x-3r)
determinarmos o domínio, a imagem, a paridade e, por fim, esboçarmos seu gráfico. Vamos precisar usar:
1. Condições de existência de frações e raízes (denominadores neq 0 e radicando > 0).
2. Propriedade do logaritmo: argumento > 0.
3. Cálculo de limites para achar a imagem.
4. Análise de simetria do domínio para checar paridade.
5. Derivada para estudar monotonicidade e esboçar o gráfico.

Passo 2

Impondo as condições de existência:
— raiz: raiz2x-3 exige
2x-3>0 Longrightarrow x>tfrac32
— denominador x^2-1neq0 xneqpm1, mas ambos estão fora de x>tfrac32.
— o log exige
x^2x^2-1+1raiz2x-3>0
Para x>tfrac32, temos x^2-1>0 e raiz2x-3>0, logo cada parcela é positiva.
Portanto o domínio é
l(tfrac32,inftyr)

Passo 3

Para determinar a imagem, estudamos
g(x)=x^2x^2-1+1raiz2x-3
e depois f(x)=log g(x).
— Quando xtotfrac32^+, temos raiz2x-3to0^+ e, portanto, g(x)to+infty, de modo que
f(x)to+infty
— Quando xtoinfty,
x^2x^2-1to1, 1raiz2x-3to0,
logo g(x)to1^+ e
f(x)=log g(x)tolog(1)=0
Como g(x)>1 para todo x>tfrac32, segue f(x)>0 e tende a 0 pela direita.
Logo a imagem de f é
(0,infty)

Passo 4

O domínio l(tfrac32,inftyr) não é simétrico em relação a 0, então não faz sentido falar em função par ou ímpar.
Resposta: f não é nem par nem ímpar.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, note que f é estritamente decrescente porque
f'(x)=g'(x)g(x),
com
g'(x) =-2x(x^2-1)^2 ;-;(2x-3)^-tfrac32 <0 para x>tfrac32,
e g(x)>0.
Assim, f'(x)<0 e f decresce de +infty em x=tfrac32^+ até 0 em xtoinfty.
O esboço é uma curva que parte de +infty em x=tfrac32, cai continuamente e se aproxima assintoticamente de y=0.

Resposta

Domínio: l(tfrac32,inftyr)
Imagem: (0,infty)
Paridade: nenhuma (não é par nem ímpar)
Gráfico: estritamente decrescente de +infty (em xtotfrac32^+) até 0 (assíntota horizontal em y=0).

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