Determine o domínio, a imagem, a paridade, e esboce o gráfico das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinarmos o domínio, a imagem, a paridade e, por fim, esboçarmos seu gráfico. Vamos precisar usar:
. Condições de existência de frações e raízes (denominadores
e radicando >
).
. Propriedade do logaritmo: argumento >
.
. Cálculo de limites para achar a imagem.
. Análise de simetria do domínio para checar paridade.
. Derivada para estudar monotonicidade e esboçar o gráfico.
Passo 2
Impondo as condições de existência:
— raiz: exige
— raiz:
— denominador
dá
, mas ambos estão fora de
.
— o log exige
— o log exige
Para
, temos
e
, logo cada parcela é positiva.
Portanto o domínio é
Portanto o domínio é
Passo 3
Para determinar a imagem, estudamos
e depois
.
— Quando , temos
e, portanto,
, de modo que
— Quando
— Quando
,
logo
e
Como
para todo
, segue
e tende a
pela direita.
Logo a imagem de é
Logo a imagem de
Passo 4
O domínio
não é simétrico em relação a
, então não faz sentido falar em função par ou ímpar.
Resposta: não é nem par nem ímpar.
Resposta:
Passo 5
Para esboçar o gráfico, note que
é estritamente decrescente porque
com
e
.
Assim, e
decresce de
em
até
em
.
O esboço é uma curva que parte de em
, cai continuamente e se aproxima assintoticamente de
.
Assim,
O esboço é uma curva que parte de
Resposta
Domínio:
Imagem:
Paridade: nenhuma (não é par nem ímpar)
Gráfico: estritamente decrescente de (em
) até
(assíntota horizontal em
).
Imagem:
Paridade: nenhuma (não é par nem ímpar)
Gráfico: estritamente decrescente de