Se um tanque mantém 4 galões de agua, que escoa pelo fundo em 4 minutos, então a Lei de Torricelli dá o volume v de água que restou no tanque depois de t minutos como v=500(1-t40)^2, 0 <= t <= 40. Encontre a taxa segundo a qual a água está escoando do tanque depois de:
10 min

Passo 1

O enunciado dá a lei de Torricelli para o volume de água no tanque,
v(t)=500l(1-t40r)^2, 0<= t<=40,
e pede a taxa de variação dvdt no instante t=10 min. Vamos usar derivação de função composta (regra da cadeia).

Passo 2

Derivando em relação a t pela regra da cadeia, primeiro identificamos
u(t)=1-t40,
então v=500,u^2. Logo,
dvdt =500cdot2,ucdotdudt =500cdot2l(1-t40r)cdotl(-140r)
Simplificando,
dvdt =-100040l(1-t40r) =-25l(1-t40r)

Passo 3

Agora avaliamos em t=10:
dvdt(10) =-25l(1-1040r) =-25l(1-tfrac14r) =-25cdottfrac34 =-18,75

Passo 4

O sinal negativo indica que o volume está diminuindo. Em módulo, a água escoa a 18,75 unidades de volume por minuto.

Resposta

dvdt(10) = -18,75 (volume por minuto)

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