Encontre uma fórmula para f^(n)(x).
f(x)=13 x^2

Passo 1

O enunciado pede a fórmula da n-ésima derivada de
f(x)=13x^2
O conteúdo principal aqui é a regra de derivação de potências repetidas.

Passo 2

Reescrevendo em forma de potência,
f(x)=13x^-2

Passo 3

Sabemos que, para g(x)=x^m, vale
g^(n)(x)=m,(m-1),(m-2)cdotsl(m-n+1r),x^,m-n

Passo 4

Aplicando isso a f(x)=(1/3)x^-2, com m=-2, obtemos
f^(n)(x) =13;(-2)(-3)cdotsl(-2-(n-1)r);x^-2-n

Passo 5

O produto
(-2)(-3)cdotsl(-2-(n-1)r)
é
(-1)^n,(2cdot3cdots(n+1)) = (-1)^n,(n+1)!
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f^(n)(x) =13;(-1)^n,(n+1)!;x^-,n-2 =(-1)^n,(n+1)!3,x^,n+2

Resposta

f^(n)(x)=(-1)^n,(n+1)!3,x^,n+2

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