Determine o domínio, a imagem, a paridade, o período, e esboce o gráfico das funções a seguir:
Passo 1
Estamos com a função
e precisamos encontrar o domínio, a imagem, verificar se é par ou ímpar, ver se tem período, e por fim esboçar o gráfico. Vamos usar conceitos básicos de funções racionais, propriedade de paridade e definição de período.
Passo 2
Para o domínio, a única restrição vem do denominador não poder ser zero. Logo, resolvemos
e obtemos
Passo 3
Para a imagem (conjunto de valores de saída), fazemos
. Como
percorre todos os reais exceto zero,
também percorre todos os reais exceto zero. Logo
Passo 4
Para checar paridade, calculamos
Como
para todo
do domínio, a função é ímpar.
Passo 5
Uma função
é periódica de período
se
para todo
. Aqui teríamos
para todo
. Isso só acontece se
. Não existe
que satisfaça a igualdade, então
não é periódica.
Passo 6
Esboço do gráfico de
:
- Tem assíntotas verticais em
e horizontais em . - Para
, e a curva cai de (quando ) até (quando ). - Para
, e a curva sobe de (quando ) até (quando ).
É uma hipérbole equilátera com duas ramificações, uma no 1º quadrante e outra no 3º quadrante.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Paridade: ímpar
Período: não é periódica
Gráfico: hipérbole com assíntotas em e
, ramificações nos quadrantes 1 e 3.
Imagem:
Paridade: ímpar
Período: não é periódica
Gráfico: hipérbole com assíntotas em