Determine o domínio, a imagem, a paridade, o período, e esboce o gráfico das funções a seguir:
f(x)=1x

Passo 1

Estamos com a função
f(x)=1x
e precisamos encontrar o domínio, a imagem, verificar se é par ou ímpar, ver se tem período, e por fim esboçar o gráfico. Vamos usar conceitos básicos de funções racionais, propriedade de paridade e definição de período.

Passo 2

Para o domínio, a única restrição vem do denominador não poder ser zero. Logo, resolvemos
xneq 0
e obtemos
Domínio=Rsetminus0 í

Passo 3

Para a imagem (conjunto de valores de saída), fazemos y=1x. Como x percorre todos os reais exceto zero, y também percorre todos os reais exceto zero. Logo
Ima>=m=Rsetminus0

Passo 4

Para checar paridade, calculamos
f(-x)=1-x=-1x=-f(x)
Como f(-x)=-f(x) para todo x do domínio, a função é ímpar.

Passo 5

Uma função f é periódica de período T se f(x+T)=f(x) para todo x. Aqui teríamos
1x+T=1x
para todo xneq 0. Isso só acontece se T=0. Não existe Tneq 0 que satisfaça a igualdade, então f não é periódica.

Passo 6

Esboço do gráfico de f(x)=1x:
  • Tem assíntotas verticais em x=0 e horizontais em y=0.
  • Para x>0, f(x)>0 e a curva cai de +infty (quando xto0^+) até 0^+ (quando xto+infty).
  • Para x<0, f(x)<0 e a curva sobe de -infty (quando xto0^-) até 0^- (quando xto-infty).
    É uma hipérbole equilátera com duas ramificações, uma no 1º quadrante e outra no 3º quadrante.

Resposta

Domínio: Rsetminus0
Imagem: Rsetminus0
Paridade: ímpar
Período: não é periódica
Gráfico: hipérbole com assíntotas em x=0 e y=0, ramificações nos quadrantes 1 e 3.

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