Um triângulo tem seus vértices nos pontos (1,-2),(3,-1) e (4,-4), submete-se esse triângulo a uma rotação de (pi / 3) rd em torno da origem e no sentido positivo (anti-horário). Use números complexos para determinar as novas coordenadas do vértice que está mais distante da origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um triângulo com vértices nas coordenadas (1,-2), (3,-1) e (4,-4). A gente precisa girar esse triângulo pi3 radianos (que é 60 graus) no sentido anti-horário ao redor da origem (o ponto (0,0)). Vamos usar números complexos para descobrir as novas coordenadas do vértice que fica mais longe da origem depois dessa rotação. Para resolver isso, vamos precisar saber como representar pontos como números complexos e como aplicar a rotação usando a multiplicação por um número complexo que representa a rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual dos três vértices está mais distante da origem antes da rotação. A distância de um ponto (x, y) até a origem é dada pela fórmula:
d = raizx^2 + y^2
Vamos calcular a distância de cada vértice:
Para (1,-2):
d = raiz1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 = raiz5 approx 2,24
Para (3,-1):
d = raiz3^2 + (-1)^2 = raiz9 + 1 = raiz10 approx 3,16
Para (4,-4):
d = raiz4^2 + (-4)^2 = raiz16 + 16 = raiz32 approx 5,66
Então, o vértice (4,-4) é o mais distante da origem.

Passo 3

Agora, vamos representar o ponto (4,-4) como um número complexo. Um número complexo tem a forma z = x + yi, onde x é a parte real e y é a parte imaginária. Então, (4,-4) vira:
z = 4 - 4i

Passo 4

Para rotacionar esse número complexo pi3 radianos no sentido anti-horário, a gente multiplica z pelo número complexo que representa essa rotação. Esse número complexo é dado por:
e^itheta = costheta + isintheta
Onde theta = pi3. Calculando:
e^ipi3 = cos(pi3) + isin(pi3) = 12 + iraiz32

Passo 5

Agora, multiplicamos z = 4 - 4i por e^ipi3 = 12 + iraiz32:
z' = z cdot e^ipi3 = (4 - 4i) ( 12 + iraiz32 )
Vamos fazer essa multiplicação:
z' = 4 cdot 12 + 4 cdot iraiz32 - 4i cdot 12 - 4i cdot iraiz32
Simplificando cada termo:
z' = 2 + 2iraiz3 - 2i - 4i^2 raiz32
Lembrando que i^2 = -1:
z' = 2 + 2iraiz3 - 2i + 2raiz3
Agora, juntamos as partes reais e imaginárias:
z' = (2 + 2raiz3) + (2raiz3 - 2)i

Passo 6

Então, as novas coordenadas do vértice após a rotação são:
(2 + 2raiz3, 2raiz3 - 2)

Resposta

As novas coordenadas do vértice mais distante da origem após a rotação são (2 + 2raiz3,, 2raiz3 - 2).

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