Um triângulo tem seus vértices nos pontos
e
, submete-se esse triângulo a uma rotação de
rd em torno da origem e no sentido positivo (anti-horário). Use números complexos para determinar as novas coordenadas do vértice que está mais distante da origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um triângulo com vértices nas coordenadas
,
e
. A gente precisa girar esse triângulo
radianos (que é 60 graus) no sentido anti-horário ao redor da origem (o ponto
). Vamos usar números complexos para descobrir as novas coordenadas do vértice que fica mais longe da origem depois dessa rotação. Para resolver isso, vamos precisar saber como representar pontos como números complexos e como aplicar a rotação usando a multiplicação por um número complexo que representa a rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual dos três vértices está mais distante da origem antes da rotação. A distância de um ponto
até a origem é dada pela fórmula:
Vamos calcular a distância de cada vértice:
Para
:
Para
:
Para
:
Então, o vértice
é o mais distante da origem.
Passo 3
Agora, vamos representar o ponto
como um número complexo. Um número complexo tem a forma
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Então,
vira:
Passo 4
Para rotacionar esse número complexo
radianos no sentido anti-horário, a gente multiplica
pelo número complexo que representa essa rotação. Esse número complexo é dado por:
Onde
. Calculando:
Passo 5
Agora, multiplicamos
por
:
Vamos fazer essa multiplicação:
Simplificando cada termo:
Lembrando que
:
Agora, juntamos as partes reais e imaginárias:
Passo 6
Então, as novas coordenadas do vértice após a rotação são:
Resposta
As novas coordenadas do vértice mais distante da origem após a rotação são
.