Questão 3- ( 1,0 ponto cada limite) Calcule os limites, se existir.
a) lim x 2 x^2-3 x+2|x-2|
b) lim x infty raiz[3]x^3+10 x-4raizx^4-3 x-2
c) lim x 0 x^4 cos (pix)
d) lim x 0 raiz1+x^2-raiz1-x^2x^2

Passo 1

O enunciado pede quatro limites de funções diferentes. Vamos usar várias técnicas de cálculo de limites:
  • limites laterais para tratar o valor absoluto em limxto2x^2-3x+2|x-2|;
  • análise de grau dominante para o infinito em limxtoinftyraiz[3]x^3+10x-4raizx^4-3x-2;
  • Teorema do Confronto (squeeze) em limxto0x^4cosl(pi xr);
  • racionalização de diferença de raízes em limxto0raiz1+x^2-raiz1-x^2x^2.

Passo 2

Para a=limxto2x^2-3x+2|x-2|, fatoramos o numerador:
x^2-3x+2=(x-1)(x-2)
Logo
x^2-3x+2|x-2|=(x-1),x-2|x-2|
Quando xto2^+, x-2|x-2|=+1, dando limxto2^+=(2-1)cdot1=1.
Quando xto2^-, x-2|x-2|=-1, dando limxto2^-=(2-1)cdot(-1)=-1.
Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe.

Passo 3

Para b=limxtoinftyraiz[3]x^3+10x-4raizx^4-3x-2, analisamos o termo dominante em cada radical:
raiz[3]x^3+10x-4=xraiz[3]1+10x^2-4x^3 =xl(1+O(x^-2)r),
raizx^4-3x-2=x^2raiz1-3x^3-2x^4 =x^2l(1+O(x^-3)r)
Assim
raiz[3]x^3+10x-4raizx^4-3x-2 =x(1+O(x^-2))x^2(1+O(x^-3)) =1x,(1+o(1)) xrightarrow[xtoinfty] 0

Passo 4

Para c=limxto0x^4cos!l(tfracpi xr), usamos que -1<=cos(tfracpi x)<=1. Então
-|x^4|<= x^4cos!l(tfracpi xr)<=|x^4|,
e como |x^4|to0 quando xto0, pelo Teorema do Confronto concluímos c=0.

Passo 5

Para d=limxto0raiz1+x^2-raiz1-x^2x^2, racionalizamos:
raiz1+x^2-raiz1-x^2x^2 =(raiz1+x^2-raiz1-x^2)(raiz1+x^2+raiz1-x^2)x^2,(raiz1+x^2+raiz1-x^2) =(1+x^2)-(1-x^2)x^2l(raiz1+x^2+raiz1-x^2r) =2x^2x^2l(raiz1+x^2+raiz1-x^2r)
Simplificando x^2 e fazendo xto0:
d=2raiz1+0+raiz1-0=21+1=1

Resposta

a) não existe
b) 0
c) 0
d) 1

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