Determine o domínio, a imagem, a paridade, o período, e esboce o gráfico das funções a seguir:
f(x)=x^2x^2-1+1raiz2 x-3

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=x^2x^2-1 ;+;1raiz2x-3
determinar o domínio, a imagem, a paridade, o período e esboçar o gráfico. Vamos usar conceitos de restrição de domínio (denominador e radicando), limites para encontrar a imagem, análise de simetria para paridade e observar que não há termo periódico.

Passo 2

Para achar o domínio, impomos duas condições:
  1. O denominador x^2-1neq0, ou seja, xneqpm1.
  2. O radicando da raiz quadrada deve ser estritamente positivo: 2x-3>0, isto é, x>tfrac32.
    Como pm1<tfrac32, a única restrição efetiva é
Domínio=l(tfrac32,+inftyr) í

Passo 3

Para a imagem, notamos que em xtotfrac32^+ o segundo termo 1raiz2x-3to+infty, logo f(x)to+infty. Em xto+infty temos
x^2x^2-1=11-1/x^2to1^+, 1raiz2x-3to0^+,
portanto f(x)to1^+. Além disso,
f'(x)=-2x(x^2-1)^2;-;(2x-3)^-tfrac32<0 para x>tfrac32,
ou seja, f é estritamente decrescente. Assim a imagem é
Ima>=m=l(1,+inftyr)

Passo 4

A paridade exige domínio simétrico a zero, mas aqui temos Dom(f)=(tfrac32,infty), não simétrico. Logo f não é nem par nem ímpar. Também não há repetição periódica no enunciado nem termos trigonométricos, logo f não é periódica.

Passo 5

Para esboçar o gráfico note:
– Há assíntota vertical em x=tfrac32, pois f(x)to+infty quando xtotfrac32^+.
– Há assíntota horizontal em y=1, pois f(x)to1^+ quando xto+infty.
f é estritamente decrescente em (tfrac32,infty).
O esboço é uma curva que parte do infinito em x=tfrac32 e desce, aproximando-se lentamente de y=1 sem atingi-la.

Resposta

Domínio: l(tfrac32,+inftyr)
Imagem: l(1,+inftyr)
Paridade: nem par nem ímpar
Período: não é periódica

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