Determine o domínio, a imagem, a paridade, o período, e esboce o gráfico das funções a seguir:
f(x)=x+2raizx-1+raizx-3+12 x-7

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x)=x+2raizx-1+raizx-3+12x-7,
que a gente determine o domínio, a imagem, a paridade, o período e faça um esboço do gráfico. Vamos usar propriedades de raízes, de denominações e de análise de limites e monotonicidade.

Passo 2

Domínio: para cada termo preciso que ele esteja bem definido.
  1. raizx-1 no denominador exige x-1>0, isto é, x>1.
  2. raizx-3 exige x-3>=0, isto é, x>=3.
  3. 2x-7neq0 xneq72.
    Combinando tudo, o domínio é
,xinR:x>=3setminusltfrac72r

Passo 3

Paridade: para ser par ou ímpar precisamos de simetria em relação a x=0, mas o domínio não é simétrico (não contém pontos negativos) e f(-x) nem se iguala a f(x) nem a -f(x). Logo, f não é nem par nem ímpar.

Passo 4

Periodicidade: f é soma de funções irracionais e racionais sem repetir valor de forma periódica. Não existe Tneq0 tal que f(x+T)=f(x) para todo x. Logo, não é periódica.

Passo 5

Imagem: dividimos em dois ramos separados pela assíntota vertical x=tfrac72.
  • Ramo em [3,tfrac72):
    em x=3
f(3)=3+2raiz3-1+raiz0+16-7 =5raiz2-1
ao aproximar xtotfrac72^-, o termo tfrac12x-7to-infty. Com alguma análise de derivada nota-se que f decresce neste intervalo, logo esse ramo atinge todos os valores
(-infty,;tfrac5raiz2-1]
  • Ramo em (tfrac72,infty):
    ao aproximar xtotfrac72^+, o termo tfrac12x-7to+infty;
    ao aproximar xto+infty,
x+2raizx-1simraiz x,raizx-3simraiz x,
então f(x)to+infty. Há um único ponto crítico onde f'(x)=0 em ,xapprox4,57, e nesse ponto f atinge valor mínimo aproximado f(x)approx5,20. Logo esse ramo cobre
[5,20,;infty)
Portanto a imagem de f é
(-infty,;tfrac5raiz2-1];cup;[5,20,;infty)

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Há assíntota vertical em x=tfrac72.
  • No ramo à esquerda, f(3)=tfrac5raiz2-1approx2,54 e decresce até -infty quando xtotfrac72^-.
  • No ramo à direita, fto+infty em xtotfrac72^+, desce até mínimo fapprox5,20 em xapprox4,57, depois cresce e tende a +infty.
  • Não há assíntota horizontal e o crescimento para +infty é do tipo f(x)sim2raiz x.

Resposta

Domínio: [3,infty)setminustfrac72
Imagem: (-infty,;tfrac5raiz2-1];cup;[5,20,;infty)
Paridade: nenhuma.
Período: não periódica.
Gráfico: conforme esboço descrito acima com assíntota em x=tfrac72.

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