Determine o domínio, a imagem, a paridade, o período, e esboce o gráfico das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede, para a função
que a gente determine o domínio, a imagem, a paridade, o período e faça um esboço do gráfico. Vamos usar propriedades de raízes, de denominações e de análise de limites e monotonicidade.
Passo 2
Domínio: para cada termo preciso que ele esteja bem definido.
-
no denominador exige , isto é, . -
exige , isto é, . -
dá .
Combinando tudo, o domínio é
Passo 3
Paridade: para ser par ou ímpar precisamos de simetria em relação a
, mas o domínio não é simétrico (não contém pontos negativos) e
nem se iguala a
nem a
. Logo,
não é nem par nem ímpar.
Passo 4
Periodicidade:
é soma de funções irracionais e racionais sem repetir valor de forma periódica. Não existe
tal que
para todo
. Logo, não é periódica.
Passo 5
Imagem: dividimos em dois ramos separados pela assíntota vertical
.
- Ramo em
:
em
ao aproximar
, o termo
. Com alguma análise de derivada nota-se que
decresce neste intervalo, logo esse ramo atinge todos os valores
- Ramo em
:
ao aproximar, o termo ;
ao aproximar,
então
. Há um único ponto crítico onde
em
, e nesse ponto
atinge valor mínimo aproximado
. Logo esse ramo cobre
Portanto a imagem de
é
Passo 6
Esboço do gráfico:
- Há assíntota vertical em
. - No ramo à esquerda,
e decresce até quando . - No ramo à direita,
em , desce até mínimo em , depois cresce e tende a . - Não há assíntota horizontal e o crescimento para
é do tipo .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Paridade: nenhuma.
Período: não periódica.
Gráfico: conforme esboço descrito acima com assíntota em .
Imagem:
Paridade: nenhuma.
Período: não periódica.
Gráfico: conforme esboço descrito acima com assíntota em