3^a Questão:(15 pontos) Em relação a equação
lim x 0 raiz1+a x-raiz1-xx=1
é correto afirmar que: (a) a=1; (b) a=2; (c) a=3; (d) a=4.

Passo 1

O enunciado pede o valor de a tal que
limxto0raiz1+ax-raiz1-xx=1
Este limite é do tipo tfrac00, e podemos avaliá-lo reconhecendo que ele corresponde à derivada em zero da função dentro do numerador.

Passo 2

Definimos
f(x)=raiz1+ax-raiz1-x
Como f(0)=0, temos
limxto0raiz1+ax-raiz1-xx =limxto0f(x)-f(0)x =f'(0)

Passo 3

Calculamos a derivada de f:
f'(x) =ddxl(raiz1+axr) -ddxl(raiz1-xr) =a2raiz1+ax +12raiz1-x

Passo 4

Avaliando em x=0:
f'(0)=a2+12=a+12
Impondo f'(0)=1 resulta
a+12=1 Longrightarrow a+1=2 Longrightarrow a=1

Resposta

(a)

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