Determine o domínio, a imagem, a paridade, o período, e esboce o gráfico das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinarmos o domínio, a imagem, verificarmos se é par ou ímpar, se tem período e fazermos um esboço do gráfico. Vamos usar análise de inequações para o domínio, estudo de limites para a imagem e propriedades de paridade e periodicidade.
Passo 2
Para achar o domínio, precisamos que o radicando seja não-negativo e que o denominador não seja zero:
Estudamos o sinal de
com pontos críticos em
e
:
- Para
, tanto quanto , logo o quociente é positivo. - Para
, o sinal é negativo. - Para
, tanto quanto , logo o quociente é positivo.
Além disso, emo denominador zera, e em o quociente vale zero (permitido).
Portanto o domínio é
Passo 3
Para a imagem, note que
. Em
temos
com
e
não atingido.
Em temos
Em
e, ao nos aproximarmos de
,
, enquanto que
faz
.
Logo todos os valores de são atingidos nesse ramo, e a imagem total é
Logo todos os valores de
Passo 4
Para a paridade comparamos
e
:
que não coincide nem com
nem com
. Portanto
não é par nem ímpar.
Passo 5
Não há repetição de valores em intervalos regulares pois o comportamento em cada ramo não se repete periodicamente. Logo
não é periódica.
Passo 6
Esboço do gráfico:
- Em
, e cresce de para 1, aproximando-se de quando . - Em
, há assíntota vertical em (pois quando ) e decresce de para 1, aproximando-se de quando . - Há assíntota horizontal
em ambos os extremos.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Paridade: nem par nem ímpar
Período: não periódica
Gráfico: dois ramos com assíntotas em (vertical) e
(horizontal), um partindo de
para
, outro indo de
em
até
em
.
Imagem:
Paridade: nem par nem ímpar
Período: não periódica
Gráfico: dois ramos com assíntotas em