Determine o domínio, a imagem, a paridade, o período, e esboce o gráfico das funções a seguir:
f(x)=raizx-1x+1

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=raizx-1x+1
determinarmos o domínio, a imagem, verificarmos se é par ou ímpar, se tem período e fazermos um esboço do gráfico. Vamos usar análise de inequações para o domínio, estudo de limites para a imagem e propriedades de paridade e periodicidade.

Passo 2

Para achar o domínio, precisamos que o radicando seja não-negativo e que o denominador não seja zero:
x-1x+1>=0, x+1neq0
Estudamos o sinal de (x-1)/(x+1) com pontos críticos em x=-1 e x=1:
  • Para x<-1, tanto x-1<0 quanto x+1<0, logo o quociente é positivo.
  • Para -1<x<1, o sinal é negativo.
  • Para x>1, tanto x-1>0 quanto x+1>0, logo o quociente é positivo.
    Além disso, em x=-1 o denominador zera, e em x=1 o quociente vale zero (permitido).
    Portanto o domínio é
Dom(f)=(-infty,-1),cup,[1,infty)

Passo 3

Para a imagem, note que f(x)>=0. Em [1,infty) temos
0<=x-1x+1<1Longrightarrow 0<= f(x)<1,
com f(1)=0 e sup f(x)=1 não atingido.
Em (-infty,-1) temos
x-1x+1>1Longrightarrow f(x)>1,
e, ao nos aproximarmos de -1^-, f(x)to+infty, enquanto que xto-infty faz f(x)to1^+.
Logo todos os valores de [1,infty) são atingidos nesse ramo, e a imagem total é
Im(f)=[0,infty)

Passo 4

Para a paridade comparamos f(-x) e f(x):
f(-x)=raiz-x-1-x+1 =raiz-(x+1)-(x-1) =raizx+1x-1,
que não coincide nem com f(x) nem com -f(x). Portanto f não é par nem ímpar.

Passo 5

Não há repetição de valores em intervalos regulares pois o comportamento em cada ramo não se repete periodicamente. Logo f não é periódica.

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Em x>=1, f(1)=0 e f(x) cresce de 0 para 1, aproximando-se de y=1 quando xtoinfty.
  • Em x<-1, há assíntota vertical em x=-1 (pois fto+infty quando xto-1^-) e f(x) decresce de +infty para 1, aproximando-se de y=1 quando xto-infty.
  • Há assíntota horizontal y=1 em ambos os extremos.

Resposta

Domínio: (-infty,-1)cup[1,infty)
Imagem: [0,infty)
Paridade: nem par nem ímpar
Período: não periódica
Gráfico: dois ramos com assíntotas em x=-1 (vertical) e y=1 (horizontal), um partindo de (1,0) para yto1^-, outro indo de yto+infty em xto-1^- até yto1^+ em xto-infty.

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