Determine o domínio, a imagem, a paridade, o período, e esboce o gráfico das funções a seguir:
f(x)=-3 x^2+x+1

Passo 1

O enunciado pede, para a função quadrática f(x) = -3x^2 + x + 1, que a gente determine o domínio, a imagem, a paridade, o período e esboce o gráfico. Para isso, vamos usar conhecimentos de polinômios de segundo grau: domínio de polinômios, cálculo do vértice para achar a imagem, teste de paridade, noção de periodicidade e características da parábola para o esboço.

Passo 2

Como f é um polinômio, ela está definida para todo xinR.
Portanto, o domínio é
R

Passo 3

Para achar a imagem, identificamos que é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de x^2 é -3<0), logo atinge valor máximo no vértice. As coordenadas do vértice são
xv = -b2a = -12cdot(-3) = 16,
fl(xvr) = fl(tfrac16r) = -3l(tfrac16r)^2 + tfrac16 + 1 = -tfrac112 + tfrac16 + 1 = 1312
Como a parábola abre para baixo, a imagem é
(-infty,;tfrac1312]

Passo 4

Testando a paridade:
f(-x) = -3(-x)^2 + (-x) + 1 = -3x^2 - x + 1
Isso não coincide nem com f(x) (par) nem com -f(x) (ímpar).
Logo, a função é nem par nem ímpar.

Passo 5

Periodicidade: polinômios não se repetem em intervalos regulares, ou seja, não são funções periódicas.
Logo, f não tem período finito diferente de zero.

Passo 6

Para esboçar o gráfico, indicamos os pontos principais:
– Vértice em l(tfrac16,,tfrac1312r).
– Intercepto em y: f(0)=1.
– Raízes (soluções de -3x^2+x+1=0):
x = -1 pm raiz1 + 122cdot(-3) = -1 pm raiz13-6 = 1 mp raiz136
A parábola é simétrica em x=tfrac16 e abre para baixo.

Resposta

Domínio: R
Imagem: (-infty,;tfrac1312]
Paridade: nem par nem ímpar
Período: não periódica

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