Determine o valor do seguinte
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite complexo juntos! A questão pede para calcular o limite quando
se aproxima de
para a expressão:
Aqui, estamos lidando com limites no campo dos números complexos, que é um tópico dentro da análise complexa. Para resolver isso, vamos precisar manipular expressões polinomiais e entender como elas se comportam quando
se aproxima de um número complexo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o denominador se anula quando
. Isso é importante porque se o denominador for zero no ponto, precisamos ter cuidado com a forma da expressão.
Calculando o denominador em
:
Calculando passo a passo:
Então, o denominador é zero quando
.
Passo 3
Agora, vamos verificar o numerador no mesmo ponto para ver se também é zero. Se ambos forem zero, temos uma indeterminação do tipo
, e podemos usar a regra de L’Hospital para resolver.
Calculando o numerador em
:
Vamos calcular cada termo separadamente:
Agora substituindo na expressão do numerador:
Calculando passo a passo:
Então, o numerador também é zero quando
.
Passo 4
Como temos uma indeterminação
, vamos aplicar a regra de L’Hospital, que nos diz para derivar o numerador e o denominador e então calcular o limite.
Primeiro, calculemos as derivadas:
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar as derivadas em
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 6
Agora, aplicamos a regra de L’Hospital:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por
:
Resposta
O valor do limite é
.