Determine o valor do seguinte lim z 1+2 i z^4-2 z^3+(5+i) z^2-2 i z+5 iz^2-2 z+5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite complexo juntos! A questão pede para calcular o limite quando z se aproxima de 1 + 2i para a expressão:
lim z 1+2 i z^4-2 z^3+(5+i) z^2-2 i z+5 iz^2-2 z+5
Aqui, estamos lidando com limites no campo dos números complexos, que é um tópico dentro da análise complexa. Para resolver isso, vamos precisar manipular expressões polinomiais e entender como elas se comportam quando z se aproxima de um número complexo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o denominador se anula quando z = 1 + 2i . Isso é importante porque se o denominador for zero no ponto, precisamos ter cuidado com a forma da expressão.
Calculando o denominador em z = 1 + 2i :
z^2 - 2z + 5 = (1 + 2i)^2 - 2(1 + 2i) + 5
Calculando passo a passo:
(1 + 2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i
-2(1 + 2i) = -2 - 4i
-3 + 4i - 2 - 4i + 5 = (-3 - 2 + 5) + (4i - 4i) = 0 + 0i = 0
Então, o denominador é zero quando z = 1 + 2i .

Passo 3

Agora, vamos verificar o numerador no mesmo ponto para ver se também é zero. Se ambos forem zero, temos uma indeterminação do tipo 00 , e podemos usar a regra de L’Hospital para resolver.
Calculando o numerador em z = 1 + 2i :
z^4 - 2z^3 + (5+i)z^2 - 2i z + 5i
Vamos calcular cada termo separadamente:
(1 + 2i)^2 = -3 + 4i
(1 + 2i)^3 = (1 + 2i)(-3 + 4i) = -11 - 2i
(1 + 2i)^4 = (1 + 2i)(-11 - 2i) = -7 - 24i
Agora substituindo na expressão do numerador:
-7 - 24i - 2(-11 - 2i) + (5 + i)(-3 + 4i) - 2i(1 + 2i) + 5i
Calculando passo a passo:
-7 - 24i + 22 + 4i - 15 + 20i - 2i - 4i^2 + 5i = 0 + 0i
Então, o numerador também é zero quando z = 1 + 2i .

Passo 4

Como temos uma indeterminação 00 , vamos aplicar a regra de L’Hospital, que nos diz para derivar o numerador e o denominador e então calcular o limite.
Primeiro, calculemos as derivadas:
Derivada do numerador N(z) :
N'(z) = 4z^3 - 6z^2 + 2(5 + i)z - 2i
Derivada do denominador D(z) :
D'(z) = 2z - 2

Passo 5

Agora, vamos avaliar as derivadas em z = 1 + 2i .
Calculando N'(1 + 2i) :
N'(1 + 2i) = 4(1 + 2i)^3 - 6(1 + 2i)^2 + 2(5 + i)(1 + 2i) - 2i
= 4(-11 - 2i) - 6(-3 + 4i) + 2(5 + i)(1 + 2i) - 2i
= -44 - 8i + 18 - 24i + 2(5 + 10i + i + 2i^2) - 2i
= -26 - 32i + 6 - 12i
= -20 - 12i
Calculando D'(1 + 2i) :
D'(1 + 2i) = 2(1 + 2i) - 2 = 2 + 4i - 2 = 4i

Passo 6

Agora, aplicamos a regra de L’Hospital:
lim z 1+2 i N(z)D(z) = N'(1 + 2i)D'(1 + 2i) = -20 - 12i4i
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por -i :
-20 - 12i4i times -i-i = 20i + 12i^2-4i^2 = 20i - 124 = -12 + 20i4 = -3 + 5i

Resposta

O valor do limite é 3 + 5i .

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