4^a Questão: Encontre y^prime(x), a derivada das funções explícitas y=f(x) dadas por:
1x+ln x^2+xln x

Passo 1

O enunciado pede a derivada ,y'(x) da função explícita
y = 1x + ln(x^2) + xln x
Vamos usar a regra da potência para tfrac1x, a regra da cadeia para ln(x^2) e a regra do quociente para tfracxln x.

Passo 2

Derivando o termo tfrac1x = x^-1 pela regra da potência:
ddxl(x^-1r) = -1cdot x^-2 = -1x^2

Passo 3

Para ln(x^2), seja u(x)=x^2. Pela regra da cadeia:
ddxln(u) = u'u Longrightarrow ddxln(x^2) = 2xx^2 = 2x

Passo 4

No termo dfracxln x aplicamos a regra do quociente com u=x e v=ln x:
ddxl(uvr) = u'v - u,v'v^2 = 1cdotln x - xcdot1x(ln x)^2 = ln x - 1(ln x)^2

Passo 5

Somando as derivadas dos três termos, obtemos
y' = -1x^2 + 2x + ln x - 1(ln x)^2

Resposta

y' = -1x^2 + 2x + ln x - 1(ln x)^2

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