Determine o domínio, a imagem, a paridade, o período, e esboce o gráfico das funções a seguir:
f(x)=|x|

Passo 1

O enunciado pede para a função f(x)=|x|: domínio, imagem, paridade, período e esboço do gráfico. Vamos usar o conceito de valor absoluto, definições de conjunto-domínio e conjunto-imagem, teste de paridade e critério de periodicidade.

Passo 2

Determinar o domínio de f. O valor absoluto |x| está definido para todo xinR. Logo o domínio é
Dom(f)=R

Passo 3

Encontrar a imagem de f. Por definição, |x|>=0 para todo x. E todo valor y>=0 é atingido (basta escolher x=y ou x=-y). Portanto
Im(f) = [0,infty)

Passo 4

Verificar a paridade de f. Calculamos
f(-x) = |-x| = |x| = f(x)
Como f(-x)=f(x) para todo x, a função é par.

Passo 5

Testar periodicidade. Uma função periódica teria um T>0 tal que |x+T|=|x| para todo x. Mas não existe T>0 que satisfaça isso globalmente (ex.: se x muda de sinal, o valor muda de ramo). Logo f não é periódica.

Passo 6

Esboçar o gráfico. A função forma um “V” com vértice na origem:
  • Para x>=0, tem-se |x|=x, reta de inclinação +1.
  • Para x<0, tem-se |x|=-x, reta de inclinação -1.

Resposta

Domínio: R
Imagem: [0,infty)
Paridade: par
Período: não periódica
Gráfico: “V” com vértice em (0,0), ramo direito y=x e ramo esquerdo y=-x.

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