Suponha que y1=e^x e y2=e^-x sejam duas soluções de uma equação diferencial linear homogênea. Explique por que y3=cosh x e y4=senh x são também soluções da equação.

Passo 1

O enunciado diz que y1=e^x e y2=e^-x são soluções de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. O conteúdo que vamos usar é o princípio de superposição: em uma EDO linear homogênea, qualquer combinação linear de soluções também é solução.

Passo 2

Observamos que
cosh x = e^x + e^-x2 e senhx = e^x - e^-x2
Ou seja, tanto cosh x quanto senhx são combinações lineares de y1=e^x e y2=e^-x.

Passo 3

Pelo princípio de superposição, se y1 e y2 satisfazem a equação diferencial linear homogênea, então qualquer combinação linear
c1y1+c2y2
também satisfaz. Logo, cosh x e senhx são soluções da mesma equação.

Resposta

Como cosh x e senhx são combinações lineares de e^x e e^-x e a EDO é linear homogênea, elas também satisfazem a equação.

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