Determine o domínio, a imagem, a paridade, o período, e esboce o gráfico das funções a seguir:
f(x)=x-lfloor xrfloor

Passo 1

O enunciado pede para determinar, para a função
f(x)=x-lfloor xrfloor,
os seguintes itens: domínio, imagem, paridade, período e um esboço do gráfico.
O conteúdo envolve a definição de piso ( lfloor xrfloor) e da parte fracionária de x, além de noções de paridade e periodicidade de funções.

Passo 2

Para o domínio, lembramos que a função piso lfloor xrfloor está bem definida para todo xinR. Logo,
Dom,f=R

Passo 3

A imagem de f é o conjunto dos valores possíveis de x-lfloor xrfloor. Por definição de parte fracionária, sempre
0 <= x-lfloor xrfloor < 1
Portanto
Im,f=[0,1)

Passo 4

Para testar paridade, compare f(-x) com f(x) e com -f(x). Por exemplo, se x=0,3, então
f(0,3)=0,3, f(-0,3)=-0,3-lfloor -0,3rfloor=-0,3-(-1)=0,7,
e 0,7neq pm 0,3. Logo f não satisfaz nem f(-x)=f(x) (par) nem f(-x)=-f(x) (ímpar).
Portanto, f é nem par nem ímpar.

Passo 5

Verificamos periodicidade: para todo xinR,
f(x+1)=(x+1)-lfloor x+1rfloor=(x+1)-(lfloor xrfloor+1)=x-lfloor xrfloor=f(x)
Assim, a função é periódica de período
T=1

Passo 6

O gráfico de f é um dente de serra (sawtooth) de período 1. Em cada intervalo [n,n+1), com ninZ, vale
f(x)=x-n,
que é uma reta de coeficiente angular 1 partindo de (n,0) (inclusivo) e subindo até aproximar-se de (n+1,1) (não inclusivo), onde então há um salto de volta para (n+1,0).

Resposta

Domínio: R
Imagem: [0,1)
Paridade: nem par nem ímpar
Período: 1
Gráfico: dente de serra em cada [n,n+1), reta de inclinação 1 ligando (n,0) a (n+1,1^-) com salto para (n+1,0).

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