2^a Questão: Calcule o limite, se existir:
(10 pontos)
lim x 1 x^2-1x-1

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é a questão. A gente precisa calcular o limite quando x se aproxima de 1 da expressão x^2-1x-1. Isso faz parte do conteúdo de limites em cálculo, e pra resolver, vamos precisar usar um pouco de álgebra pra simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 1 diretamente na expressão para ver o que acontece:
1^2-11-1 = 00
Aí a gente bate no típico “0 sobre 0”, que é uma forma indeterminada. Isso quer dizer que a gente precisa simplificar a expressão de outra maneira.

Passo 3

Vamos olhar para o numerador, x^2 - 1 . Essa expressão é uma diferença de quadrados, e a gente sabe que pode fatorar assim:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Então, agora a fração fica:
(x - 1)(x + 1)x - 1

Passo 4

Agora, dá pra notar que o termo (x - 1) está tanto no numerador quanto no denominador. Como x está se aproximando de 1, mas não é exatamente 1, a gente pode cancelar esses termos:
cancel(x - 1)(x + 1)cancel(x - 1) = x + 1
Então, a expressão simplificada é apenas x + 1 .

Passo 5

Com a expressão simplificada, calcular o limite fica fácil. Agora só precisamos substituir x = 1 :
lim x 1 (x + 1) = 1 + 1 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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