Determine também os pontos singulares de f.
Diga se a função f(z)=Im(z^2) tem derivada em algum ponto.

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A questão pede para a gente determinar os pontos singulares da função f(z) = Im(z^2) e dizer se essa função tem derivada em algum ponto. Isso tá no campo de Análise Complexa, onde a gente estuda funções de variáveis complexas. Para resolver, vamos precisar usar as ideias de derivada de funções de variáveis complexas e as condições de Cauchy-Riemann.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função f(z) = Im(z^2) significa. Se z = x + iy , onde x e y são números reais, então:
z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy
Assim, a parte imaginária de z^2 é 2xy . Então, podemos reescrever a função como:
f(z) = 2xy
Isso significa que f(z) depende das variáveis reais x e y .

Passo 3

Agora, para determinar se a função tem derivada em algum ponto no sentido complexo, precisamos verificar as condições de Cauchy-Riemann. Essas condições dizem que, para uma função f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ser diferenciável em um ponto, as seguintes igualdades devem ser verdadeiras:
partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x
No nosso caso, como f(z) = Im(z^2) = 2xy , podemos identificar u(x, y) = 2xy e v(x, y) = 0 (já que não há parte imaginária além de 0 ).

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial upartial x = 2y
partial upartial y = 2x
partial vpartial x = 0
partial vpartial y = 0
Agora, aplicando as condições de Cauchy-Riemann:
2y = 0 e 2x = -0

Passo 5

As equações 2y = 0 e 2x = 0 implicam que y = 0 e x = 0 . Ou seja, as condições de Cauchy-Riemann só são satisfeitas no ponto onde x = 0 e y = 0 , ou seja, no ponto z = 0 .

Passo 6

Portanto, a função f(z) = Im(z^2) só satisfaz as condições de Cauchy-Riemann no ponto z = 0 . Isso significa que a única possibilidade de f(z) ter derivada no sentido complexo é nesse ponto.

Passo 7

Entretanto, para que a função seja derivável em z = 0 , as derivadas parciais também devem ser contínuas nesse ponto. Como todas as derivadas são constantes ou lineares, elas são contínuas, então f(z) tem derivada apenas em z = 0 .

Passo 8

Agora, sobre os pontos singulares: em Análise Complexa, pontos singulares são aqueles onde a função não é analítica, ou seja, não tem derivada. Como f(z) só é derivável em z = 0 , todos os outros pontos do plano complexo são pontos singulares para essa função.

Resposta

A função f(z) = Im(z^2) tem derivada apenas no ponto z = 0 . Todos os outros pontos do plano complexo são pontos singulares dessa função.

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