Determine também os pontos singulares de
.
Diga se a função
tem derivada em algum ponto.
Diga se a função
Passo 1
Beleza, então vamos lá! A questão pede para a gente determinar os pontos singulares da função
e dizer se essa função tem derivada em algum ponto. Isso tá no campo de Análise Complexa, onde a gente estuda funções de variáveis complexas. Para resolver, vamos precisar usar as ideias de derivada de funções de variáveis complexas e as condições de Cauchy-Riemann.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função
significa. Se
, onde
e
são números reais, então:
Assim, a parte imaginária de
é
. Então, podemos reescrever a função como:
Isso significa que
depende das variáveis reais
e
.
Passo 3
Agora, para determinar se a função tem derivada em algum ponto no sentido complexo, precisamos verificar as condições de Cauchy-Riemann. Essas condições dizem que, para uma função
ser diferenciável em um ponto, as seguintes igualdades devem ser verdadeiras:
No nosso caso, como
, podemos identificar
e
(já que não há parte imaginária além de
).
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, aplicando as condições de Cauchy-Riemann:
Passo 5
As equações
e
implicam que
e
. Ou seja, as condições de Cauchy-Riemann só são satisfeitas no ponto onde
e
, ou seja, no ponto
.
Passo 6
Portanto, a função
só satisfaz as condições de Cauchy-Riemann no ponto
. Isso significa que a única possibilidade de
ter derivada no sentido complexo é nesse ponto.
Passo 7
Entretanto, para que a função seja derivável em
, as derivadas parciais também devem ser contínuas nesse ponto. Como todas as derivadas são constantes ou lineares, elas são contínuas, então
tem derivada apenas em
.
Passo 8
Agora, sobre os pontos singulares: em Análise Complexa, pontos singulares são aqueles onde a função não é analítica, ou seja, não tem derivada. Como
só é derivável em
, todos os outros pontos do plano complexo são pontos singulares para essa função.
Resposta
A função
tem derivada apenas no ponto
. Todos os outros pontos do plano complexo são pontos singulares dessa função.