1. sumk=0^infty (-1)^k x^2 k+12(k+1)!

Passo 1

O enunciado pede para somar a série de potências
sumk=0^infty (-1)^k x^2k+12,(k+1)!
O conteúdo principal é manipular séries de potências e usar a expansão conhecida de exp(-x^2). Vamos reindexar a soma e em seguida reconhecer uma forma de ,1 - e^-x^2,.

Passo 2

Extraímos o fator 1/2 e mudamos o índice de k para m=k+1. Assim
sumk=0^infty (-1)^k x^2k+12,(k+1)! =12sumk=0^infty(-1)^k x^2k+1(k+1)! =12summ=1^infty(-1)^m-1 x^2m-1m!

Passo 3

Recordemos a expansão em série de exp(-x^2):
e^-x^2 =summ=0^infty(-1)^m x^2mm! =1+summ=1^infty(-1)^m x^2mm!
Logo
1 - e^-x^2 =-summ=1^infty(-1)^m x^2mm! =summ=1^infty(-1)^m-1 x^2mm!
Dividindo por x obtemos
1-e^-x^2x =summ=1^infty(-1)^m-1 x^2m-1m!
Comparando com o resultado do Passo 2, vemos que
12summ=1^infty(-1)^m-1 x^2m-1m! =1-e^-x^22x

Resposta

sumk=0^infty (-1)^k x^2k+12,(k+1)! =1 - e^-x^22x

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