Determine,
todas as raízes de
todas as raízes de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar todas as raízes da equação
. Isso está relacionado à matéria de números complexos e, mais especificamente, ao cálculo de raízes de números complexos usando a forma polar e o Teorema de De Moivre. Para resolver, vamos precisar entender como representar números complexos na forma polar e aplicar esse teorema para encontrar todas as raízes possíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação
de uma forma mais simples:
Agora, queremos expressar o número
em sua forma polar. Sabemos que qualquer número complexo pode ser escrito como
, onde
é o módulo e
é o argumento.
Passo 3
Vamos calcular o módulo
de
. Como
é um número real negativo, o módulo é simplesmente o valor absoluto:
Agora, precisamos encontrar o ângulo
. No plano complexo,
está no eixo negativo dos reais, o que corresponde a um ângulo de
radianos.
Passo 4
Então, podemos escrever
na forma polar:
Agora, queremos encontrar todas as raízes sexta de
, ou seja, encontrar todas as soluções para
que satisfazem
.
Passo 5
Para encontrar as raízes, utilizaremos o Teorema de De Moivre, que diz que para encontrar as
-ésimas raízes de um número complexo, usamos:
onde
.
Passo 6
Aplicando isso ao nosso caso, temos
,
, e
. Então, a magnitude das raízes será:
E o ângulo para cada raiz será:
onde
.
Passo 7
Então, as seis raízes são:
para
.
Passo 8
Vamos calcular cada uma delas:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Todas as raízes da equação
são: