Determine,
todas as raízes de z^6+8=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar todas as raízes da equação z^6 + 8 = 0 . Isso está relacionado à matéria de números complexos e, mais especificamente, ao cálculo de raízes de números complexos usando a forma polar e o Teorema de De Moivre. Para resolver, vamos precisar entender como representar números complexos na forma polar e aplicar esse teorema para encontrar todas as raízes possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação z^6 + 8 = 0 de uma forma mais simples:
z^6 = -8
Agora, queremos expressar o número -8 em sua forma polar. Sabemos que qualquer número complexo pode ser escrito como r(cos theta + i sin theta) , onde r é o módulo e theta é o argumento.

Passo 3

Vamos calcular o módulo r de -8. Como -8 é um número real negativo, o módulo é simplesmente o valor absoluto:
r = |-8| = 8
Agora, precisamos encontrar o ângulo theta . No plano complexo, -8 está no eixo negativo dos reais, o que corresponde a um ângulo de pi radianos.

Passo 4

Então, podemos escrever -8 na forma polar:
-8 = 8 (cos pi + i sin pi)
Agora, queremos encontrar todas as raízes sexta de -8, ou seja, encontrar todas as soluções para z que satisfazem z^6 = 8 (cos pi + i sin pi) .

Passo 5

Para encontrar as raízes, utilizaremos o Teorema de De Moivre, que diz que para encontrar as n -ésimas raízes de um número complexo, usamos:
zk = raiz[n]r [ cos ( theta + 2kpin ) + i sin ( theta + 2kpin ) ]
onde k = 0, 1, 2, dots, n-1 .

Passo 6

Aplicando isso ao nosso caso, temos n = 6 , r = 8 , e theta = pi . Então, a magnitude das raízes será:
raiz[6]8 = 8^1/6 = 2^3 times 16 = 2^12 = raiz2
E o ângulo para cada raiz será:
pi + 2kpi6 = (1 + 2k)pi6
onde k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 .

Passo 7

Então, as seis raízes são:
zk = raiz2 [ cos ( (1 + 2k)pi6 ) + i sin ( (1 + 2k)pi6 ) ]
para k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 .

Passo 8

Vamos calcular cada uma delas:
  • Para k = 0 :
z0 = raiz2 [ cos ( pi6 ) + i sin ( pi6 ) ] = raiz2 ( raiz32 + i 12 )
  • Para k = 1 :
z1 = raiz2 [ cos ( 3pi6 ) + i sin ( 3pi6 ) ] = raiz2 ( 0 + i cdot 1 ) = iraiz2
  • Para k = 2 :
z2 = raiz2 [ cos ( 5pi6 ) + i sin ( 5pi6 ) ] = raiz2 ( -raiz32 + i 12 )
  • Para k = 3 :
z3 = raiz2 [ cos ( 7pi6 ) + i sin ( 7pi6 ) ] = raiz2 ( -raiz32 - i 12 )
  • Para k = 4 :
z4 = raiz2 [ cos ( 9pi6 ) + i sin ( 9pi6 ) ] = raiz2 ( 0 - i cdot 1 ) = -iraiz2
  • Para k = 5 :
z5 = raiz2 [ cos ( 11pi6 ) + i sin ( 11pi6 ) ] = raiz2 ( raiz32 - i 12 )

Resposta

Todas as raízes da equação z^6 + 8 = 0 são:
z0 = raiz2 ( raiz32 + i 12 ) z1 = iraiz2 z2 = raiz2 ( -raiz32 + i 12 ) z3 = raiz2 ( -raiz32 - i 12 ) z4 = -iraiz2 z5 = raiz2 ( raiz32 - i 12 )

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