Determine o domínio, a imagem e as raízes das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado dá a função linear
definida por
e pede três coisas:
- o domínio de
(todos os valores de que podemos usar), - a imagem (ou conjunto-valor, ou conjunto de saídas) de
, - as raízes de
(os valores de tais que ).
As informações relevantes que temos são apenas a expressão algébrica
.
Passo 2
O que é domínio? O domínio é o conjunto de todos os
para os quais a expressão que define
faz sentido (é bem definida). Aqui a expressão é uma combinação de multiplicação e subtração:
e depois
.
Regras práticas:
- Operações de soma, subtração e multiplicação entre números reais sempre fazem sentido para qualquer
. - Problemas surgem quando há divisão por zero, raízes pares de números negativos, logaritmos de números não positivos etc. Nenhum desses casos aparece aqui.
Portanto, para a função
não existe restrição: qualquer número real pode ser substituído em
. Assim o domínio é o conjunto de todos os números reais. Em notação:
Passo 3
O que são raízes (ou zeros) de
? São os valores de
que tornam
igual a zero, isto é, solução da equação
Aqui substituímos
pela expressão dada e resolvemos passo a passo:
Agora isolvemos
com operações inversas:
- Somar
em ambos os lados:
- Dividir ambos os lados por
:
Explicação das operações: somar
anula o
; dividir por
é a operação inversa da multiplicação por
. Ambas preservam a igualdade desde que não dividamos por zero (aqui
).
Conclusão: a função tem uma única raiz:
Passo 4
O que é imagem (ou conjunto-valor)? É o conjunto de todos os valores
que
assume quando
percorre o domínio. Em linguagem simples: quais números podem sair da função?
Estratégia prática para funções lineares: resolver
para
em termos de
. Se para qualquer
existir algum
que satisfaça a equação, então a imagem é
.
Começamos com
Isolando
:
Observação: para qualquer valor real de
, a expressão
é um número real (não há divisão por zero aqui porque o denominador é constante
). Logo, para qualquer
existe um
tal que
. Isso significa que
atinge todos os valores reais.
Outra maneira de ver é pensar que a reta
tem coeficiente angular
, então ela não é horizontal e, estendendo-se por toda a linha, cruza todos os níveis de
.
Portanto a imagem (o conjunto de valores possíveis de
) é
Passo 5
Pequeno reforço com exemplos numéricos para fixar (só para praticar):
-
. -
(a raiz que encontramos). -
.
Viu? conseguimos valores negativos, zero e positivos — reforçando que a imagem é realmente todo
.
Resposta
raízes: