Determine o domínio, a imagem e as raízes das seguintes funções:
f(x)=3 x-12;

Passo 1

O enunciado dá a função linear f definida por
f(x)=3x-12,
e pede três coisas:
  • o domínio de f (todos os valores de x que podemos usar),
  • a imagem (ou conjunto-valor, ou conjunto de saídas) de f,
  • as raízes de f (os valores de x tais que f(x)=0).
As informações relevantes que temos são apenas a expressão algébrica f(x)=3x-12.

Passo 2

O que é domínio? O domínio é o conjunto de todos os x para os quais a expressão que define f(x) faz sentido (é bem definida). Aqui a expressão é uma combinação de multiplicação e subtração: 3x e depois -12.
Regras práticas:
  • Operações de soma, subtração e multiplicação entre números reais sempre fazem sentido para qualquer x\in\mathbb{R}.
  • Problemas surgem quando há divisão por zero, raízes pares de números negativos, logaritmos de números não positivos etc. Nenhum desses casos aparece aqui.
Portanto, para a função f(x)=3x-12 não existe restrição: qualquer número real pode ser substituído em x. Assim o domínio é o conjunto de todos os números reais. Em notação:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

O que são raízes (ou zeros) de f? São os valores de x que tornam f(x) igual a zero, isto é, solução da equação
f(x)=0.
Aqui substituímos f(x) pela expressão dada e resolvemos passo a passo:
3x-12=0.
Agora isolvemos x com operações inversas:
  1. Somar 12 em ambos os lados:
3x-12+12=0+12 \quad\Rightarrow\quad 3x=12.
  1. Dividir ambos os lados por 3:
x=\dfrac{12}{3}=4.
Explicação das operações: somar 12 anula o -12; dividir por 3 é a operação inversa da multiplicação por 3. Ambas preservam a igualdade desde que não dividamos por zero (aqui 3\neq0).
Conclusão: a função tem uma única raiz:
x=4.

Passo 4

O que é imagem (ou conjunto-valor)? É o conjunto de todos os valores y que f(x) assume quando x percorre o domínio. Em linguagem simples: quais números podem sair da função?
Estratégia prática para funções lineares: resolver y=f(x)=3x-12 para x em termos de y. Se para qualquer y\in\mathbb{R} existir algum x\in\mathbb{R} que satisfaça a equação, então a imagem é \mathbb{R}.
Começamos com
y=3x-12.
Isolando x:
3x=y+12 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{y+12}{3}.
Observação: para qualquer valor real de y, a expressão \dfrac{y+12}{3} é um número real (não há divisão por zero aqui porque o denominador é constante 3). Logo, para qualquer y\in\mathbb{R} existe um x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y. Isso significa que f atinge todos os valores reais.
Outra maneira de ver é pensar que a reta y=3x-12 tem coeficiente angular 3\neq0, então ela não é horizontal e, estendendo-se por toda a linha, cruza todos os níveis de y.
Portanto a imagem (o conjunto de valores possíveis de f(x)) é
\text{Im}(f)=\mathbb{R}.

Passo 5

Pequeno reforço com exemplos numéricos para fixar (só para praticar):
  • x=0\Rightarrow f(0)=3\cdot 0-12=-12.
  • x=4\Rightarrow f(4)=3\cdot 4-12=12-12=0 (a raiz que encontramos).
  • x=10\Rightarrow f(10)=3\cdot 10-12=30-12=18.
Viu? conseguimos valores negativos, zero e positivos — reforçando que a imagem é realmente todo \mathbb{R}.

Resposta

\text{Dom}(f)=\mathbb{R}
\text{Im}(f)=\mathbb{R}
raízes: x=4

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