Determine o domínio real da função de processamento de sinal
f(t)=\frac{t-2}{t^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede claramente: determinar o domínio real da função
f(t)=\frac{t-2}{t^{2}+1}.
Informações dadas:
  • A função é uma função racional cujo numerador é (t-2) e cujo denominador é (t^{2}+1).
  • Deve-se encontrar todos os valores reais de t para os quais f(t) está bem definida (ou seja, o domínio real).

Passo 2

O que significa “domínio real” neste contexto?
O domínio real de uma função são todos os valores de t pertencentes a \mathbb{R} para os quais a expressão da função produz um número real bem definido. Para funções racionais (frações de polinômios), a única razão que impede um valor de t de estar no domínio é se o denominador for zero nesse t, porque dividir por zero não é permitido.

Passo 3

Aplicando essa regra ao nosso caso: devemos achar os t\in\mathbb{R} que anulam o denominador (t^{2}+1). Vamos resolver a equação
t^{2}+1=0.

Passo 4

Resolver \,t^{2}+1=0: subtrai-se 1 de ambos os lados e obtém-se
t^{2}=-1.
Agora, pergunte-se: existe algum número real cujo quadrado seja -1? Não existe, porque para todo t\in\mathbb{R} vale t^{2}\ge 0. Logo a igualdade t^{2}=-1 não tem solução real.

Passo 5

Conseqüência direta: o denominador (t^{2}+1) nunca é zero para valores reais de t. Em outras palavras,
t^{2}+1>0\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Portanto não há nenhuma restrição à entrada t vinda do denominador — todos os reais são permitidos.

Passo 6

Comentário didático curto (para você lembrar na prova): para contrastar, se a função fosse g(t)=\dfrac{1}{t-1}, bastaria resolver t-1=0 para descobrir que t=1 está proibido do domínio. Aqui, ao tentar resolver t^{2}+1=0, obtemos apenas raízes complexas t=\pm i (não reais), então nenhum número real é excluído.

Resposta

\mathbb{R}

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