(Função Exponencial) Determine o ponto de intersecção com o eixo y e esboce o gráfico da função f(x)=2^{x-3}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2^{x-3} e pede duas coisas:
  • Determinar o ponto de intersecção com o eixo y.
  • Esboçar o gráfico de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão da função é f(x)=2^{x-3}.
  • Precisaremos do valor de f em x=0 para achar a intersecção com o eixo y.
  • Para esboçar o gráfico, é útil saber domínio, imagem (range), assíntota horizontal, monotonicidade e alguns pontos “fáceis” para plotar.

Passo 2

O que é o ponto de intersecção com o eixo y? É o ponto onde a curva corta a reta x=0. Portanto devemos calcular f(0).
Calculemos:
f(0)=2^{0-3}=2^{-3}.
Agora simplificamos 2^{-3}: potências com expoente negativo significam inverso da potência positiva:
2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}.
Logo o ponto de intersecção com o eixo y tem coordenadas \bigl(0,\tfrac{1}{8}\bigr).

Passo 3

Vamos falar da forma geral da curva — propriedades úteis para o esboço.
Domínio: toda a reta real, isto é \mathbb{R}, porque potências 2^{x-3} estão definidas para qualquer x.
Imagem (range): todos os números reais positivos, isto é (0,\infty). Explicação: para qualquer x, 2^{x-3}>0; não existe x tal que 2^{x-3}=0 nem negativo.
Assíntota horizontal: y=0. Justificativa intuitiva: quando x\to-\infty temos 2^{x-3}\to0^{+}; quando x\to\infty a função cresce sem limite.
Monotonicidade: a função é estritamente crescente. Raciocínio sem cálculo: se x_1<x_2 então x_2-x_1>0 e
\frac{2^{x_2}}{2^{x_1}}=2^{x_2-x_1}>1,
logo 2^{x_2}>2^{x_1}. Como multiplicar por 2^{-3} preserva a ordem, 2^{x_2-3}>2^{x_1-3}. Assim f(x) cresce quando x aumenta.

Passo 4

Interpretação por transformações: compare com a função base g(x)=2^{x}.
  • f(x)=2^{x-3}=g(x-3). Isso significa: pegue o gráfico de g(x)=2^{x} e desloque-o 3 unidades para a direita.
  • Alternativamente, f(x)=2^{-3}\cdot 2^{x}=\tfrac{1}{8}\,2^{x}. Isso mostra que f também é uma versão de 2^{x} multiplicada por \tfrac{1}{8} (compressão vertical). Para funções exponenciais essas duas descrições são consistentes: deslocar horizontalmente uma função exponencial resulta em um fator multiplicativo no eixo y.

Passo 5

Vamos calcular alguns pontos fáceis para desenhar (faço as contas devagar para você poder reproduzir na prova):
  • Já temos f(0)=2^{-3}=\tfrac{1}{8}. Ponto: \bigl(0,\tfrac{1}{8}\bigr).
  • Em x=1:
f(1)=2^{1-3}=2^{-2}=\frac{1}{4}.
Ponto: \bigl(1,\tfrac{1}{4}\bigr).
  • Em x=2:
f(2)=2^{2-3}=2^{-1}=\frac{1}{2}.
Ponto: \bigl(2,\tfrac{1}{2}\bigr).
  • Em x=3:
f(3)=2^{3-3}=2^{0}=1.
Ponto importante: (3,1).
  • Em x=4:
f(4)=2^{4-3}=2^{1}=2.
Ponto: (4,2).
Esses pontos mostram a subida: de \tfrac{1}{8} em x=0 para 1 em x=3 e para 2 em x=4.

Passo 6

Instruções práticas para esboçar (passo a passo, como fazer na prova sem régua complicada):
  1. Trace os eixos x e y. Marque a assíntota horizontal y=0 com uma linha tracejada.
  2. Marque os pontos calculados: \bigl(0,\tfrac{1}{8}\bigr), \bigl(1,\tfrac{1}{4}\bigr), \bigl(2,\tfrac{1}{2}\bigr), (3,1), (4,2).
  3. Lembre-se que para x\to -\infty a curva se aproxima de y=0 (do lado positivo), nunca toca. Para x\to\infty a curva sobe muito rápido.
  4. Una os pontos com uma curva suave, crescente, que segue a assíntota y=0 à esquerda e sobe à direita. Evite cantos; exponencial é sempre lisa e suave.
  5. Observe que não há intersecção com o eixo x porque a função nunca é zero nem negativa.
Dica de visualização rápida: comece desenhando o gráfico de 2^{x} padrão e desloque-o 3 unidades para a direita (ou então comprima-o verticalmente por 1/8); ambos dão o mesmo traçado aqui.

Passo 7

Resumo conceitual final (para fixar): f(x)=2^{x-3} é uma exponencial com base maior que 1, logo é estritamente crescente, tem assíntota horizontal y=0, domínio \mathbb{R}, imagem (0,\infty) e cruza o eixo y em \bigl(0,\tfrac{1}{8}\bigr). Pontos de referência úteis: (3,1) e (4,2).

Resposta

Ponto de intersecção com o eixo y: \bigl(0,\tfrac{1}{8}\bigr).
Esboço do gráfico: função exponencial estritamente crescente com assíntota horizontal y=0, passando por \bigl(0,\tfrac{1}{8}\bigr), \bigl(1,\tfrac{1}{4}\bigr), \bigl(2,\tfrac{1}{2}\bigr), (3,1), (4,2) (desenhar curva suave que se aproxima de y=0 à esquerda e cresce rapidamente à direita).

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