(Função Exponencial) Determine o ponto de intersecção com o eixo
e esboce o gráfico da função
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o ponto de intersecção com o eixo
. - Esboçar o gráfico de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão da função é
. - Precisaremos do valor de
em para achar a intersecção com o eixo . - Para esboçar o gráfico, é útil saber domínio, imagem (range), assíntota horizontal, monotonicidade e alguns pontos “fáceis” para plotar.
Passo 2
O que é o ponto de intersecção com o eixo
? É o ponto onde a curva corta a reta
. Portanto devemos calcular
.
Calculemos:
Calculemos:
Agora simplificamos
: potências com expoente negativo significam inverso da potência positiva:
Logo o ponto de intersecção com o eixo
tem coordenadas
.
Passo 3
Vamos falar da forma geral da curva — propriedades úteis para o esboço.
Domínio: toda a reta real, isto é
, porque potências
estão definidas para qualquer
.
Imagem (range): todos os números reais positivos, isto é
. Explicação: para qualquer
,
; não existe
tal que
nem negativo.
Assíntota horizontal:
. Justificativa intuitiva: quando
temos
; quando
a função cresce sem limite.
Monotonicidade: a função é estritamente crescente. Raciocínio sem cálculo: se
então
e
logo
. Como multiplicar por
preserva a ordem,
. Assim
cresce quando
aumenta.
Passo 4
Interpretação por transformações: compare com a função base
.
-
. Isso significa: pegue o gráfico de e desloque-o 3 unidades para a direita. - Alternativamente,
. Isso mostra que também é uma versão de multiplicada por (compressão vertical). Para funções exponenciais essas duas descrições são consistentes: deslocar horizontalmente uma função exponencial resulta em um fator multiplicativo no eixo .
Passo 5
Vamos calcular alguns pontos fáceis para desenhar (faço as contas devagar para você poder reproduzir na prova):
- Já temos
. Ponto: . - Em
:
Ponto:
.
- Em
:
Ponto:
.
- Em
:
Ponto importante:
.
- Em
:
Ponto:
.
Esses pontos mostram a subida: de
em
para
em
e para
em
.
Passo 6
Instruções práticas para esboçar (passo a passo, como fazer na prova sem régua complicada):
- Trace os eixos
e . Marque a assíntota horizontal com uma linha tracejada. - Marque os pontos calculados:
, , , , . - Lembre-se que para
a curva se aproxima de (do lado positivo), nunca toca. Para a curva sobe muito rápido. - Una os pontos com uma curva suave, crescente, que segue a assíntota
à esquerda e sobe à direita. Evite cantos; exponencial é sempre lisa e suave. - Observe que não há intersecção com o eixo
porque a função nunca é zero nem negativa.
Dica de visualização rápida: comece desenhando o gráfico de
padrão e desloque-o 3 unidades para a direita (ou então comprima-o verticalmente por
); ambos dão o mesmo traçado aqui.
Passo 7
Resumo conceitual final (para fixar):
é uma exponencial com base maior que 1, logo é estritamente crescente, tem assíntota horizontal
, domínio
, imagem
e cruza o eixo
em
. Pontos de referência úteis:
e
.
Resposta
Ponto de intersecção com o eixo
:
.
Esboço do gráfico: função exponencial estritamente crescente com assíntota horizontal , passando por
,
,
,
,
(desenhar curva suave que se aproxima de
à esquerda e cresce rapidamente à direita).
Esboço do gráfico: função exponencial estritamente crescente com assíntota horizontal