Determine o domínio, a imagem e as raízes das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado dá a função quadrática
definida por
O que se pede:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por
). - Determinar as raízes (valores de
tais que ).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- É uma função polinomial de grau 2 com coeficiente líder
, termo linear e termo constante .
Passo 2
Domínio: explicar por que é
.
Todo polinômio está bem definido para qualquer número real
— não há divisões por zero, raízes pares de números negativos, logaritmos etc. Portanto o domínio de
é o conjunto de todos os números reais. Em notação:
Passo 3
Encontrar as raízes: resolver
.
Começamos igualando a zero:
Multiplicando a equação por
(isso não altera as soluções) obtemos
Dividindo ambos os lados por
(novamente sem alterar as soluções):
Agora fatoramos o quadrático: procuramos dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Esses números são
e
. Assim:
Portanto as soluções da equação
são
(Verificação rápida usando a fórmula de Bhaskara:
, raízes
.)
Passo 4
Determinar a imagem: entender a forma da parábola e achar o valor máximo.
A função é quadrática com coeficiente líder
. Isso significa que o gráfico é uma parábola com “concavidade para baixo” — ou seja, ela tem um valor máximo (no vértice) e decai para
nos extremos. Logo a imagem será do tipo
, onde
é o valor do vértice.
A abscissa do vértice de uma parábola
é dada por
Aqui
e
, então
Agora calculamos a ordenada do vértice, isto é
:
Então o vértice é o ponto
e o valor máximo da função é
. Como a parábola vai para
quando
, a imagem é
Passo 5
Checagens e observações didáticas (como usar isso na prova):
- As raízes
e estão simetricamente colocadas em relação ao eixo de simetria ; a média confirma isso. - Para obter a imagem de uma quadrática em uma prova: identifique
. Se a parábola abre para cima e a imagem é . Se a parábola abre para baixo e a imagem é . O valor extremo é obtido no vértice com e então calcula-se . - Para achar raízes rapidamente tente primeiro fatorar (divide por constantes para simplificar), e, se não for óbvio, aplique a fórmula quadrática.