Determine o domínio, a imagem e as raízes das seguintes funções:
g(x)=-2 x^{2}+8 x-6;

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática g definida por
g(x) = -2x^{2} + 8x - 6.
O que se pede:
  • Determinar o domínio de g.
  • Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por g).
  • Determinar as raízes (valores de x tais que g(x)=0).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • É uma função polinomial de grau 2 com coeficiente líder a=-2, termo linear b=8 e termo constante c=-6.

Passo 2

Domínio: explicar por que é \mathbb{R}.
Todo polinômio está bem definido para qualquer número real x — não há divisões por zero, raízes pares de números negativos, logaritmos etc. Portanto o domínio de g é o conjunto de todos os números reais. Em notação:
\text{Dom}(g)=\mathbb{R}.

Passo 3

Encontrar as raízes: resolver g(x)=0.
Começamos igualando a zero:
-2x^{2}+8x-6=0.
Multiplicando a equação por -1 (isso não altera as soluções) obtemos
2x^{2}-8x+6=0.
Dividindo ambos os lados por 2 (novamente sem alterar as soluções):
x^{2}-4x+3=0.
Agora fatoramos o quadrático: procuramos dois números cuja soma seja -4 e cujo produto seja +3. Esses números são -1 e -3. Assim:
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Portanto as soluções da equação g(x)=0 são
x=1\quad\text{e}\quad x=3.
(Verificação rápida usando a fórmula de Bhaskara: \Delta=b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot3=16-12=4, raízes \dfrac{4\pm\sqrt{4}}{2}=\dfrac{4\pm2}{2}=1,3.)

Passo 4

Determinar a imagem: entender a forma da parábola e achar o valor máximo.
A função é quadrática com coeficiente líder a=-2<0. Isso significa que o gráfico é uma parábola com “concavidade para baixo” — ou seja, ela tem um valor máximo (no vértice) e decai para -\infty nos extremos. Logo a imagem será do tipo (-\infty,\;M], onde M é o valor do vértice.
A abscissa do vértice de uma parábola ax^{2}+bx+c é dada por
x_{v} = -\dfrac{b}{2a}.
Aqui a=-2 e b=8, então
x_{v} = -\dfrac{8}{2\cdot(-2)} = -\dfrac{8}{-4}=2.
Agora calculamos a ordenada do vértice, isto é g(x_{v})=g(2):
g(2) = -2\cdot 2^{2} + 8\cdot 2 - 6 = -2\cdot 4 + 16 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2.
Então o vértice é o ponto (2,2) e o valor máximo da função é 2. Como a parábola vai para -\infty quando |x|\to\infty, a imagem é
\text{Im}(g)=(-\infty,\,2].

Passo 5

Checagens e observações didáticas (como usar isso na prova):
  • As raízes x=1 e x=3 estão simetricamente colocadas em relação ao eixo de simetria x=2; a média \dfrac{1+3}{2}=2 confirma isso.
  • Para obter a imagem de uma quadrática em uma prova: identifique a. Se a>0 a parábola abre para cima e a imagem é [\,\text{valor mínimo},\infty)í. Se a<0 a parábola abre para baixo e a imagem é (-\infty,\,\text{valor máximo}]á. O valor extremo é obtido no vértice com x_v=-\dfrac{b}{2a} e então calcula-se g(x_v).
  • Para achar raízes rapidamente tente primeiro fatorar (divide por constantes para simplificar), e, se não for óbvio, aplique a fórmula quadrática.

Resposta

\text{Dom}(g)=\mathbb{R}
\text{Im}(g)=(-\infty,\,2]
\text{Raízes: }x=1\text{ e }x=3í

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