Determine o domínio, a imagem e as raízes das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado dá a função polinomial
definida por
O que se pede explicitamente:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (conjunto dos valores possíveis de
). - Encontrar as raízes (os
tais que ).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
-
é um polinômio de grau com coeficiente líder . - Não há outras restrições no enunciado (como denominadores, raízes quadradas, logaritmos etc.).
Passo 2
Determinar o domínio.
Explicação teórica curta e direta: um polinômio está definido para todo número real; não existem divisões por zero, raízes pares de números negativos nem logaritmos que restrinjam
. Portanto o domínio é o conjunto de todos os números reais.
Resposta do domínio:
Passo 3
Encontrar as raízes resolvendo
.
Vou fatorar o polinômio passo a passo. Primeiro escrevo
Percebe-se que
é fator comum em ambos os termos; fatorando
obtemos
Agora fatoramos o quadrado da diferença
como uma diferença de quadrados:
Assim a fatoração completa é
As raízes são os valores de
que anulam cada fator:
-
anula o fator ; -
anula o fator ; -
anula o fator .
Logo as raízes são
,
e
.
Passo 4
Verificação e intuição sobre a forma do gráfico (útil para entender a imagem).
Pequena aula sobre comportamento de polinômios ímpares de grau
:
- Como o coeficiente líder é positivo (
em ), tem-se e . Isso significa que, indo para em , cresce sem limite, e para vai a . - Funções polinomiais são contínuas em
. Pela propriedade do valor intermediário, uma função contínua que vai a à esquerda e a à direita atinge todos os valores reais pelo caminho. Portanto isto já dá forte indicação de que a imagem é . Vou detalhar isso com os extremos locais também, só para ficar bem claro.
Passo 5
Analisar derivada, extremos locais e monotonicidade (explicando o motivo).
Derivada de
:
Para encontrar pontos críticos resolvemos
:
Para ficar com uma forma mais bonita racionalizada, escrevemos
Definimos
Estudo do sinal de
:
- Para
temos então , isto é, é crescente em e em . - Para
temos então , isto é, é decrescente em .
Da monotonicidade segue que:
-
é um máximo local. -
é um mínimo local.
Passo 6
Calcular os valores dos extremos locais (para ver onde ficam relativamente às raízes).
Vamos calcular
e
. Lembrando que
e
.
Cálculo de
:
Substituindo
:
Cálculo de
:
Portanto o máximo local é
e o mínimo local é
.
Num valor aproximado,
. Isso só para intuição: o gráfico sobe pelo infinito negativo, atinge um máximo local em
em torno de
, desce atravessando as raízes
,
,
(nessa ordem), atinge um mínimo local em
em torno de
e depois cresce para
.
Passo 7
Concluir a imagem usando continuidade e limites.
Já que
e
é contínua em
, pelo Teorema do Valor Intermediário
assume todos os valores reais. Portanto a imagem é todo o conjunto dos números reais.
Formalmente:
Resposta
Domínio:
Imagem:
Raízes:
Imagem:
Raízes: