Determine o domínio, a imagem e as raízes das seguintes funções:
h(x)=x^{3}-4 x.

Passo 1

O enunciado dá a função polinomial h definida por
h(x)=x^{3}-4x.
O que se pede explicitamente:
  • Determinar o domínio de h.
  • Determinar a imagem (conjunto dos valores possíveis de h(x)).
  • Encontrar as raízes (os x tais que h(x)=0).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • h é um polinômio de grau 3 com coeficiente líder 1.
  • Não há outras restrições no enunciado (como denominadores, raízes quadradas, logaritmos etc.).

Passo 2

Determinar o domínio.
Explicação teórica curta e direta: um polinômio está definido para todo número real; não existem divisões por zero, raízes pares de números negativos nem logaritmos que restrinjam x. Portanto o domínio é o conjunto de todos os números reais.
Resposta do domínio:
\text{Dom}(h)=\mathbb{R}.

Passo 3

Encontrar as raízes resolvendo h(x)=0.
Vou fatorar o polinômio passo a passo. Primeiro escrevo
h(x)=x^{3}-4x.
Percebe-se que x é fator comum em ambos os termos; fatorando x obtemos
h(x)=x\bigl(x^{2}-4\bigr).
Agora fatoramos o quadrado da diferença x^{2}-4 como uma diferença de quadrados:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Assim a fatoração completa é
h(x)=x(x-2)(x+2).
As raízes são os valores de x que anulam cada fator:
  • x=0 anula o fator x;
  • x=2 anula o fator x-2;
  • x=-2 anula o fator x+2.
Logo as raízes são -2, 0 e 2.

Passo 4

Verificação e intuição sobre a forma do gráfico (útil para entender a imagem).
Pequena aula sobre comportamento de polinômios ímpares de grau 3:
  • Como o coeficiente líder é positivo ( 1 em x^{3}), tem-se \lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty e \lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty. Isso significa que, indo para +\infty em x, h(x) cresce sem limite, e para x\to-\infty vai a -\infty.
  • Funções polinomiais são contínuas em \mathbb{R}. Pela propriedade do valor intermediário, uma função contínua que vai a -\infty à esquerda e a +\infty à direita atinge todos os valores reais pelo caminho. Portanto isto já dá forte indicação de que a imagem é \mathbb{R}. Vou detalhar isso com os extremos locais também, só para ficar bem claro.

Passo 5

Analisar derivada, extremos locais e monotonicidade (explicando o motivo).
Derivada de h:
h'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-4x\bigr)=3x^{2}-4.
Para encontrar pontos críticos resolvemos h'(x)=0:
3x^{2}-4=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\frac{4}{3}\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}.
Para ficar com uma forma mais bonita racionalizada, escrevemos
\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.
Definimos
c=\frac{2\sqrt{3}}{3}\quad(\text{logo os pontos críticos são }x=\pm c).íã
Estudo do sinal de h'(x)=3x^{2}-4:
  • Para |x|>c temos x^{2}>\tfrac{4}{3} então 3x^{2}-4>0, isto é, h é crescente em (-\infty,-c) e em (c,+\infty).
  • Para |x|<c temos x^{2}<\tfrac{4}{3} então 3x^{2}-4<0, isto é, h é decrescente em (-c,c).
Da monotonicidade segue que:
  • x=-c é um máximo local.
  • x=+c é um mínimo local.

Passo 6

Calcular os valores dos extremos locais (para ver onde ficam relativamente às raízes).
Vamos calcular h\text{(c)} e h(-c). Lembrando que c^{2}=\tfrac{4}{3} e c>0.
Cálculo de h\text{(c)}:
h\text{(c)}=c^{3}-4c=c\bigl(c^{2}-4\bigr)=c\Bigl(\frac{4}{3}-4\Bigr)=c\Bigl(-\frac{8}{3}\Bigr)=-\frac{8}{3}c.
Substituindo c=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}:
h\text{(c)}=-\frac{8}{3}\cdot\frac{2\sqrt{3}}{3}=-\frac{16\sqrt{3}}{9}.
Cálculo de h(-c):
h(-c)=(-c)^{3}-4(-c)=-c^{3}+4c=-\bigl(c^{3}-4c\bigr)=-h\text{(c)}=\frac{16\sqrt{3}}{9}.
Portanto o máximo local é h(-c)=\dfrac{16\sqrt{3}}{9} e o mínimo local é h\text{(c)}=-\dfrac{16\sqrt{3}}{9}.
Num valor aproximado, \dfrac{16\sqrt{3}}{9}\approx 3{,}079. Isso só para intuição: o gráfico sobe pelo infinito negativo, atinge um máximo local em x=-c em torno de 3{,}079, desce atravessando as raízes -2, 0, 2 (nessa ordem), atinge um mínimo local em x=+c em torno de -3{,}079 e depois cresce para +\infty.

Passo 7

Concluir a imagem usando continuidade e limites.
Já que
\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty\qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty,
e h é contínua em \mathbb{R}, pelo Teorema do Valor Intermediário h assume todos os valores reais. Portanto a imagem é todo o conjunto dos números reais.
Formalmente:
\text{Im}(h)=\mathbb{R}.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \mathbb{R}
Raízes: x=-2,\;x=0,\;x=2

Exercícios relacionados