Determine o domínio, imagem e as respectivas curvas de nível das funções abaixo:
f(x, y)=4 x^{2}+y^{2}+1, curvas de nível para k=1,2,5,10;

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=4x^{2}+y^{2}+1
e pede o domínio, a imagem e as curvas de nível para k=1,2,5,10. Vamos usar que o domínio de um polinômio em x,y é todo \mathbb{R}^2, que a imagem de uma soma de quadrados deslocada por +1 é um intervalo a partir do valor mínimo, e que a curva de nível de parâmetro k é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=k.

Passo 2

Domínio: não há restrição de raiz ou logaritmo na expressão 4x^{2}+y^{2}+1, logo
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}^2.

Passo 3

Imagem: como 4x^2\ge0 e y^2\ge0, o mínimo de 4x^2+y^2 é 0 em (0,0). Assim
\min f = 0 + 1 = 1
e, à medida que |x| ou |y|\to\infty, f\to\infty. Portanto
\text{Im}(f)=[1,\infty).

Passo 4

Curvas de nível: fixado k, resolvemos
f(x,y)=k \quad\Longrightarrow\quad 4x^{2}+y^{2}+1=k \quad\Longrightarrow\quad 4x^{2}+y^{2}=k-1.
Para k<1 não há solução real; para k=1 4x^2+y^2=0 (ponto único); para k>1 são elipses centradas na origem.

Passo 5

Para k=1:
4x^{2}+y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,\;y=0
(curva degenerada num ponto).

Passo 6

Para k=2:
4x^{2}+y^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{\tfrac14}+\frac{y^{2}}{1}=1,
elipse de semi-eixo a=\tfrac12 em x e b=1 em y.

Passo 7

Para k=5:
4x^{2}+y^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{4}=1,
elipse de semi-eixo a=1 em x e b=2 em y.

Passo 8

Para k=10:
4x^{2}+y^{2}=9 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{\tfrac{9}{4}}+\frac{y^{2}}{9}=1,
elipse de semi-eixo a=\tfrac{3}{2} em x e b=3 em y.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^2
Imagem: [1,\infty)
Curvas de nível f(x,y)=k:
Para k=1: ponto (0,0).
Para k=2: elipse \tfrac{x^{2}}{\tfrac14}+\tfrac{y^{2}}{1}=1.
Para k=5: elipse \tfrac{x^{2}}{1}+\tfrac{y^{2}}{4}=1.
Para k=10: elipse \tfrac{x^{2}}{\tfrac{9}{4}}+\tfrac{y^{2}}{9}=1.

Exercícios relacionados