Determine o domínio, imagem e as respectivas curvas de nível das funções abaixo:
, curvas de nível para
;
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede o domínio, a imagem e as curvas de nível para
. Vamos usar que o domínio de um polinômio em
é todo
, que a imagem de uma soma de quadrados deslocada por
é um intervalo a partir do valor mínimo, e que a curva de nível de parâmetro
é o conjunto de pontos
tais que
.
Passo 2
Domínio: não há restrição de raiz ou logaritmo na expressão
, logo
Passo 3
Imagem: como
e
, o mínimo de
é
em
. Assim
e, à medida que
ou
,
. Portanto
Passo 4
Curvas de nível: fixado
, resolvemos
Para
não há solução real; para
dá
(ponto único); para
são elipses centradas na origem.
Passo 5
Para
:
(curva degenerada num ponto).
Passo 6
Para
:
elipse de semi-eixo
em
e
em
.
Passo 7
Para
:
elipse de semi-eixo
em
e
em
.
Passo 8
Para
:
elipse de semi-eixo
em
e
em
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem:
Curvas de nível
:
Para : ponto
.
Para : elipse
.
Para : elipse
.
Para : elipse
.
Para
Para
Para
Para