Determine se os limites abaixo existem, no caso que não, explique, no caso que sim, calcule.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}};

Passo 1

O enunciado pede verificar a existência do limite
\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Esse problema envolve limite de função de duas variáveis e o critério de que, se o limite existe, ele deve ser o mesmo ao longo de qualquer trajetória de aproximação à origem.

Passo 2

Para testar a dependência da trajetória, aproximamos pela reta y = m\,x, com m constante. Substituindo:
\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} =\frac{x^{2}-(m\,x)^{2}}{x^{2}+(m\,x)^{2}} =\frac{x^{2}(1-m^{2})}{x^{2}(1+m^{2})} =\frac{1-m^{2}}{1+m^{2}}.
O valor obtido é independente de x mas varia com m.

Passo 3

Escolhendo m=0 (reta y=0) temos
\frac{1-0^{2}}{1+0^{2}}=1.
Para m=1 (reta y=x) temos
\frac{1-1^{2}}{1+1^{2}}=0.
Como o resultado depende de m, não há um único valor de aproximação.

Resposta

O limite não existe.

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